Подмножество
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/150px-Venn_A_subset_B.svg.png)
В математике говорят, что множество есть подмно́жество множества , если все элементы первого множества являются и элементами второго множества.
Определение[править | править код]
Множество называется подмножеством множества , если все элементы, принадлежащие , также принадлежат [1]. Формальное определение:
Существует две системы символических обозначений для подмножеств:
« является подмножеством (нестрогим)» обозначается | « является строгим подмножеством » обозначается | Примечание |
---|---|---|
Символ является аналогом , то есть в случае допускается равенство множеств;
символ является аналогом , то есть в случае в есть элементы, которых нет в . | ||
Для понятия «(нестрогое) подмножество» используется более простой символ, так как оно считается более «фундаментальным». |
Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.
Множество называется надмно́жеством множества , если является подмножеством множества .
То, что является надмножеством множества , записывают , то есть
Множество всех подмножеств множества обозначается .
Множества и называются равными , только когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть и .[2]
Собственное и несобственное подмножество[править | править код]
Любое множество среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными[3].
То есть, если мы хотим исключить само и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:
- множество является собственным подмножеством множества , только если и , .
Зарубежная литература[править | править код]
В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют тривиальными, а собственные — нетривиальными, а термин «собственное подмножество» (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B» или «подмножество A, строго входящее в множество B, то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества B», то есть здесь понятие «собственное подмножество» уже, наоборот, включает пустое множество.
В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:
- множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством (proper subset) и .
Примеры[править | править код]
- Множества являются подмножествами множества
- Множества являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
- Множества являются подмножествами множества
- Пусть Тогда
- Пусть . Тогда а также (то есть C не является ни строгим, ни нестрогим подмножеством A).
Свойства[править | править код]
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[4].
- Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
- Отношение подмножества рефлексивно:
- Отношение подмножества антисимметрично:
- Отношение подмножества транзитивно:
- Отношение подмножества рефлексивно:
- Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
- Для любых трёх множеств , и таких, что , равносильны все следующие утверждения:[5]
Подмножества конечных множеств[править | править код]
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся таких подмножеств.
Примечания[править | править код]
- ↑ Биркгоф, 1976, с. 10.
- ↑ Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 11
- ↑ Подмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 465
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.
- ↑ Келли Дж. Общая топология = General topology — 1957 / пер. с англ. А.В. Архангельского. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 16. — 432 с.
Литература[править | править код]
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0.
- Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.