Теорема Вильсона

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если $p$ — простое число, то число $(p-1)!+1$ делится на $p$. Обратно: если $(p-1)!+1$ делится на $p$, то $p$ — простое число.

Эта теорема, в основном, имеет теоретическое значение, поскольку факториал $(p-1)!$ вычислить довольно трудно. Проще вычислить $a^{p-1}$, поэтому элементарные тесты, определяющие, является ли число простым, основаны на теореме Ферма, а не на теореме Вильсона. Например, наибольшее простое число, найденное с использованием теоремы Вильсона, скорее всего — 1099511628401, и даже с оптимизированным подходом к расчёту $p!$ потребуется около суток вычислений на процессорах SPARC, а числа с десятками тысяч цифр проходят тест на простоту с использованием теоремы Ферма меньше чем за час. Но, в отличие от малой теоремы Ферма, теорема Вильсона является одновременно необходимым и достаточным условием для простоты.

История

Эта теорема впервые была сформулирована Ибн аль-Хайсамом около 1000 г.н.э, и в 1770 году Варинг сформулировал эту теорему в своём сочинении «Meditationes Algebraicae», опубликованном в Кембридже, он приводит без доказательства теорему Вильсона. По его словам, теорема принадлежит его ученику Вильсону. Доказательство теоремы он опубликовал только в третьем издании своего Meditationes в 1782 году. Первое доказательство теоремы Вильсона было дано в 1771 году Лагранжем.

Наконец, Эйлер в «Opusc. Analyt», Т. 1, р. 329 дал доказательство, Гаусс обобщил теорему Вильсона на случай составного модуля. Имеются данные о том, что Лейбниц знал о результате ещё столетием раньше, но никогда не публиковал его.

Пример

В таблице посчитаны значения $(p-1)!$ для p от 2 до 31, а также остаток от деления $(p-1)!$ на p (остаток от деления m на p обозначается как m mod p). Зелёным цветом выделены простые числа.

Таблица остатков по модулю n

$p$	$(p-1)!$	$(p-1)!{\bmod {p}}$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0
31	265252859812191058636308480000000	30

Доказательство

Доказательство

Достаточность

Пусть p — простое.

Способ 1

Рассмотрим $(p-1)!$. Множество ненулевых классов вычетов по простому модулю p по умножению $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ является группой, и тогда $(p-1)!$ - это произведение всех элементов группы $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$. Поскольку $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ - группа, то для каждого её элемента $a$ существует единственный обратный элемент $a^{-1}:aa^{-1}\equiv 1{\pmod {p}}$. Соответствие $a\to a^{-1}$ разбивает группу на классы: если $a=a^{-1}$ (что равносильно $a^{2}=1$, то есть $a\in \{1,-1\}$, поскольку у уравнения второй степени может быть не более двух решений), то класс содержит один элемент $a$, в противном случае класс состоит из двух элементов - $\{a,a^{-1}\}$. Значит, если класс содержит один элемент $a$, то произведение всех его элементов равно $a$, а если класс содержит 2 элемента, то произведение всех его элементов равно 1. Теперь в произведении $(p-1)!$ сгруппируем элементы по классам, все произведения по 2-элементным классам просто равны 1:

$(p-1)!\equiv \prod \limits _{a^{2}=1}a\cdot \prod \limits _{a^{2}\neq 1}a\equiv \prod \limits _{a^{2}=1}a\equiv 1\cdot (-1)\equiv -1{\pmod {p}}.$

■

Способ 2

Группа $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ циклична, т. е. существует элемент $g$ такой, что для всякого элемента $a$ существует $k$ такое, что $a=g^{k}$. Поскольку $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ имеет $p-1$ элемент, то $k$ пробегает значения от 0 до $p-1$, когда $a$ пробегает всю группу вычетов. Тогда

$(p-1)!\equiv g^{1}g^{2}\ldots g^{p-1}\equiv g^{1+2+\ldots +(p-1)}=g^{{\frac {p-1}{2}}p}\equiv (-1)^{p}\equiv -1{\pmod {p}}.$

■

Способ 3

$\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ - поле, поэтому в нем имеет место теорема Лагранжа, т. е. многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней. Рассмотрим многочлены $f(x)=(x-1)\ldots (x-(p-1))$ и $g(x)=x^{p-1}-1$. Оба многочлена имеют корни $1,2,\ldots ,p-1$ (для $g(x)$ это получается по малой теореме Ферма), степени многочленов равны $p-1$, старшие коэффициенты одинаковы. Тогда многочлен $h(x)=f(x)-g(x)$ имеет как минимум те же $p-1$ корней, но его степень не более $p-2$. Значит по теореме Безу $h(x)$ тождественно равен нулю, т. е. для всех $x$ будет $f(x)=g(x)$, в частности $f(0)=g(0)$, что равносильно $(-1)^{p-1}(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$. Получаем утверждение теоремы для $p>2$, т. к. $p-1$ четно и значит $(-1)^{p-1}=1$.■

Необходимость

Если $p$ составное и $p\neq 4$, то $(p-1)!\equiv 0{\pmod {p}}$, а при $p=4$ получаем $(4-1)!\equiv 2{\pmod {4}}$.

Геометрическое доказательство достаточности

1. Пусть p — простое число. Перенумеруем вершины правильного p-угольника в порядке обхода контура: 1, 2, 3, ..., p. Если соединим их диагоналями последовательно через одну, потом через две, через три и т. д., то кроме правильного многоугольника 123..., получим ещё (p − 2) многоугольников 135..., 147..., 159... и т. д. Эти (p − 1) многоугольников попарно тождественны, так как при соединении вершин через k и через (p − k − 2) получаем тождественные многоугольники. Число различных правильных многоугольников, полученных этим путём, равно $(p-1)/2$;
2. Если соединим вершины в каком-либо другом порядке, например в порядке 13245..., то получим неправильный многоугольник; повёртывая этот многоугольник так, чтобы номера его вершин заменялись следующими по порядку числами (число p заменяется при этом единицей), получим p неправильных многоугольников. В вышеуказанном примере это будут многоугольники 13245..., 24356..., 35467..., ..., 2134... Если таким путём образуем все возможные неправильные многоугольники, то число их будет кратно p, но, как и в случае правильных многоугольников, они по два тождественны; именно две последовательности вершин, прямая и обратная, дают один и тот же многоугольник;
3. Если в последовательности вершин 123... сделать все возможные перестановки (p − 1) вершин 23..., то получим все возможные (правильные и неправильные) многоугольники; их число будет равно $1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-1)=(p-1)!'$; они опять будут попарно тождественны, так что действительное их число $(p-1)!/2$;
4. Сопоставляя результаты из пунктов 1 и 3, видим, что число неправильных многоугольников будет равно: $1/2(p-1)!-1/2(p-1)=1/2((p-1)!+1-p)$. Из пункта 2, это число должно делиться на p; следовательно (p − 1)! + 1 кратно p.:■

Применение

• Используем теорему Вильсона

$1\cdot 2\cdots (p-1)\equiv -1{\pmod {p}}.$

Для нечётного простого p = 2m + 1, получаем

$1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\equiv 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\equiv -1{\pmod {p}}.$

В результате

$\prod _{j=1}^{m}j^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.$

Мы можем использовать этот факт для доказательства известного результата: для любого простого p, такого что p ≡ 1 (mod 4) число (−1) является квадратом (квадратичный вычет) по модулю p. Действительно, пусть p = 4k + 1 для некоторого натурального k. Тогда m = 2k, следовательно

${\biggl (}\prod _{j=1}^{2k}\ j{\biggr )}^{2}=\prod _{j=1}^{2k}j^{2}\equiv (-1)^{2k+1}=-1{\pmod {p}}.$

Теорема Вильсона используется для генерирования простых чисел, но она слишком медленная для практического применения.

Обобщение

Используя в качестве образца теорему Эйлера, попытаемся обобщить теорему Вильсона на случай p = n, где n — произвольное натуральное число. Простая замена (p − 1)! на произведение n₁n₂…n_k всех чисел, меньших n и взаимно простых с n, не проходит: в случае n = 8 это произведение равно 1 × 3 × 5 × 7 = 105, а 106 на 8 не делится. Но оказывается, что или n₁n₂…n_k + 1, или n₁n₂…n_k − 1 обязательно делится на n.

Рассмотрим множество E_n чисел, меньших n и взаимно простых с n. Под произведением двух элементов этого множества ab, будем понимать остаток от деления обычного произведения ab на n. Ясно, что если a, b принадлежит E_n, то ab принадлежит E_n. Множество E_n относительно операции умножения является группой. В отличие от случая, когда n — простое, группа E_n может содержать элементы, не равные 1 и (n − 1) такие, что их квадрат равен 1: например если n = 8, то 3 × 3 = 1, 5 × 5 = 1, 7 × 7 = 1. Поэтому в общем случае произведение всех элементов из E_n не равно (n − 1). Покажем, что тогда оно равно 1.

Назовем элемент a группы E_n особым, если aa = 1. В этом случае элемент n − a — тоже особый. Следовательно, группа E_n содержит чётное число особых элементов: (a, n − a) — множество таких элементов, и никакой элемент не может быть парой сам для себя. Пусть n₁, n₂, …, n_k — все элементы группы E_n, то есть полный набор чисел, меньших n и взаимно простых с n. Множество элементов, не являющихся особыми, разбивается на пары взаимно обратных, поэтому произведение таких элементов равно 1. С другой стороны, произведение особых элементов, составляющих пару (a, n − a), равно n − 1. Поскольку (n − 1)(n − 1) = 1, то произведение всех особых элементов равно 1 или n − 1, в зависимости от того, чётным или нечётным является число пар вида (a, n − a).■

Впервые теорема была доказана и обобщена Гауссом, при любом n > 2 для произведения всех натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, имеет место сравнение:

$\prod _{k=1 \atop (k,n)=1}^{n}\!\!k\equiv {\begin{cases}-1{\pmod {n}},&n=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\,;\\\;\;\,1{\pmod {n}},&n\neq 4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\,,\end{cases}}$

где $p$ — нечётное простое число, $\alpha$ — натуральный показатель.

Позже было найдено ещё одно формальное обобщение теоремы Вильсона (В.Виноград):

$(p-m)!*(m-1)!\equiv (-1)^{m}{\pmod {p}}$

При $m=1$ получается теорема Вильсона.

При $m=\left({\frac {p+1}{2}}\right)$ получается $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}}$, т.е.

$\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}$, если $p\equiv 1{\pmod {4}}$

и

$\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}-1\equiv 0{\pmod {p}}$, если $p\equiv 3{\pmod {4}}$

См. также

• Мультипликативная группа кольца вычетов
• Теорема Вольстенхольма
• Число Вильсона
• Функция распределения простых чисел

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
• Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959
• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — 5 изд.. — М.—Л.: Гостехиздат, 1952.
• R. Crandall, K. Dilcher and C. Pomerance The Prime Glossary (англ.)
• Ore, O. Number Theory and its History. McGraw-Hill, 1948.
• Бончковский Р. Н. и Чистяков И. И. Математическое просвещение, выпуск 01