Теорема Лейбница (геометрия)

Теорема или формула Лейбница — утверждение о медианах:

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Для произвольной точки O плоскости имеет место равенство $AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=3OM^{2}+AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}.$

Из теоремы Лейбница следует, что среди всех точек плоскости точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение.

Аналогичное утверждение справедливо для тетраэдра: сумма квадратов расстояний от точки до вершин тетраэдра минимальна для его центроида — характеристическое свойство центроида.

Также, из этой теоремы следует формула для медианы тетраэдра.

Литература

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.67.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488с. стр.344-345.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 42. — ISBN 5-94057-170-0.
• Ловушка для треугольника. В.Дубровский, В.Сендеров (рассматриваются обобщения).
• Мадер В.В. Полифония доказательств. Учеб.пособие. М.: Мнемозина, 2009. 344 с.