Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке $\left[a,b\right]$ функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют $C$-свойством.

Формулировка

Для того, чтобы функция $f(x)$, заданная на отрезке $\left[a,b\right]$, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым $C$-свойством: для любого $\varepsilon >0$ найдётся такая функция $\varphi (x)$, непрерывная на отрезке $\left[a,b\right]$, что мера множества $\{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\}$ меньше $\varepsilon$.

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге . Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова. В этой теореме произвольно малое число $\varepsilon >0$ нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина. — Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.