Точка Понселе

Точка Понселе — предмет следующей теоремы:

Для любой четверки точек $A,B,C,D$, отличной от ортоцентрической, окружности девяти точек треугольников $ABC$, $BCD$, $ABD$, $ACD$ пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе.

Замечание

• В теореме Понселе выше речь идет о системе 4 точек, не являющихся так называемой ортоцентрической системой 4 точек.
• Если в четвёрке точек $A$, $B$, $C$, $D$ точка $D$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек. Другие свойства ортоцентрической системы точек см. в статье ортоцентр.
• В определении выше для точки Понселе можно отказаться от упоминания ортоцентрической системы точек, если, например, заменить его системой 4 точек, образующих вершины выпуклого невырожденного четырехугольника, которые автоматически никогда не образуют ортоцентрическую систему точек.
• Кстати, если в определении выше для точки Понселе система 4 точек все-таки окажется ортоцентрической, то точка Понселе станет просто окружностью Эйлера (бесконечным множеством точек), общей для ортоцентрической системы точек.

Свойства точки Понселе

Если $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, то точки Понселе для четвёрок точек $ABCD$, $ABHD$, $AHCD$, $HBCD$ совпадают.

Точка Понселе четвёрки точек $ABCD$ лежит на педальной окружности точки $D$ относительно треугольника $ABC$, то есть на описанной окружности подерного треугольника точки $D$ относительно треугольника $ABC$.

Точка Понселе четвёрки точек $ABCD$ является центром равнобокой гиперболы, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$.

Точка Понселе четвёрки точек $ABCD$ лежит на чевианной окружности точки $D$ относительно треугольника $ABC$, то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника $ABC$, проходящих через точку $D$.

Точка Понселе четвёрки $ABCD$ является серединой отрезка, соединяющего точки $D$ и $D'$, где $D'$- образ точки $D$ при антигональном сопряжении относительно треугольника $ABC$

Точки Понселе четвёрок $ABCD$ и $ABCD'$ совпадают.

Замечание

• Антигональное сопряжение - тоже что и анти изогональное сопряжение.

Литература

• Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4.
• Vonk, Jan (2009), "The Feuerbach point and reflections of the Euler line" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 47—55

См. также

• Точка Микеля