Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.
Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.
Якобиан отображения
в точке
обычно обозначается
, иногда также следующим образом:
,или 
Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].
Введён Якоби (1833, 1841).
Якобиан векторной функции
, имеющей в некоторой точке
все частные производные первого порядка, определяется как

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций
.
Если функции
определяют преобразование координат
, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] параллелепипедов, «натянутых» на
и на
при равенстве произведений
.
- Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
- Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
- Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат
преобразуется как


- (формула замены переменных в n-мерном интеграле).
Пример 1. Переход элементарной площади
от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):


Матрица Якоби имеет следующий вид
![{\displaystyle {\hat {I}}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3031c197a073f880d703b5c9fdc1855b93d22ad)
А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
Пример 2. Переход элементарного объёма
от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :



Матрица Якоби имеет следующий вид
![{\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195f38b88d922b84eb58e94ca49cb74f49faa8c3)
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
- Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке
равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки
к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
- Якобиан в точке
положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
- Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области
, то отображение
является локальным диффеоморфизмом.
- Применение в физике