Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.
Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.
Якобиан отображения
в точке
обычно обозначается
, иногда также следующим образом:
,или ![{\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf5edf4ecade8d6d46d283a8813a68a9fa15e87)
Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].
Введён Якоби (1833, 1841).
Якобиан векторной функции
, имеющей в некоторой точке
все частные производные первого порядка, определяется как
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99dd5afcaf583ada3c3dfcb2cc83a1aaa600dedb)
Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций
.
Если функции
определяют преобразование координат
, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] параллелепипедов, «натянутых» на
и на
при равенстве произведений
.
- Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
- Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
- Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат
преобразуется как
![\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2364469fe46dfdd4a6886f10362f8a5b9407e82b)
![=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde x}_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f7a2a4544425ee309d233bbff33a8619b06f98)
- (формула замены переменных в n-мерном интеграле).
Пример 1. Переход элементарной площади
от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):
![{\displaystyle x=r\,\cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eab2e5bd9d318c58bed767026015279a8afbb3)
![{\displaystyle y=r\,\sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a868683b5d6c722eb336379579ddefcddc8c10cb)
Матрица Якоби имеет следующий вид
![{\displaystyle {\hat {I}}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3031c197a073f880d703b5c9fdc1855b93d22ad)
А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
Пример 2. Переход элементарного объёма
от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :
![{\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315bc9e7d3fe2d1b8133e17e019dc6190846364b)
![{\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59fb5b1bef7fd225416287601d7c044afb701ad)
![{\displaystyle z=r\,\cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8213999f32f6f99f42d4e013e353b83d6d6b2c75)
Матрица Якоби имеет следующий вид
![{\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195f38b88d922b84eb58e94ca49cb74f49faa8c3)
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
- Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке
равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки
к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
- Якобиан в точке
положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
- Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области
, то отображение
является локальным диффеоморфизмом.
- Применение в физике