Стохастический интеграл — интеграл вида , где — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса[1].
Стохастический интеграл от детерминированной функции[править | править код]
Введем гильбертово пространство случайных величин , , со скалярным произведением и среднеквадратичной нормой . Здесь - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.[2]
Пусть - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида задана стохастическая аддитивная функция с ортогональными значениями из гильбертова пространства случайных величин , , обладающая свойствами:
- Для любых непересекающихся , , величины , являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю:
- Если , являются непересекающимися полуинтервалами и составляет полуинтервал, то
- . Здесь - норма в гильбертовом пространстве, при .
Пусть детерминированная функция, удовлетворяющая условию . Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций , аппроксимирующих функцию так, что ,
Стохастическим интегралом от детерминированной функции называется предел[3]
Стохастический интеграл от стохастического процесса[править | править код]
Рассмотрим интеграл
где — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал точками на подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений[4]:
- или
Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса[5]
Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру сумму интегралов и следующей формулой[5]:
при . Интеграл соответствует интегралу Ито, а совпадает с интегралом Стратоновича.
Интеграл Стратоновича имеет вид[6]
Интеграл Ито имеет вид[5]
Его основные свойства[5]:
Здесь — функция среднего значения, — ковариационная функция.
Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции . Интеграл вида
называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства [7]:
Его основные свойства:
- [8].
- [9].
- ↑ Острём, 1973, с. 68.
- ↑ Розанов, 1982, с. 57.
- ↑ Розанов, 1982, с. 64.
- ↑ Острём, 1973, с. 70.
- ↑ 1 2 3 4 Острём, 1973, с. 71.
- ↑ Острём, 1973, с. 72.
- ↑ Винер, 1961, с. 20.
- ↑ Винер, 1961, с. 21.
- ↑ Винер, 1961, с. 24.
- Острём, К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
- Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
- Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.