Методы интегрирования
Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.
Непосредственное интегрирование[править | править код]
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.
Метод замены переменной (метод подстановки)[править | править код]
Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида интегрируется следующим образом:
Пример: Найти
Решение: Пусть , тогда .
Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля
применяемая для вычисления интегралов вида
где m натуральное число[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций[править | править код]
Пусть требуется проинтегрировать выражение , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:
- если , то применяется подстановка [2];
- если , то применяется подстановка [2];
- если , то применяется подстановка [3].
Частный случай этого правила:
Выбор подстановки производится следующим образом:
- если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
- если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
- если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку .
Пример: .
Решение: Пусть ; тогда и , где C — любая константа.
Интегрирование дифференциального бинома[править | править код]
Для вычисления интеграла от дифференциального бинома
где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:
- — целое число. Используется подстановка , — общий знаменатель дробей и ;
- — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
- — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[4].
Интегрирование по частям[править | править код]
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
Или:
В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл
где — многочлен -й степени.
Пример: Найти интеграл .
Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что и , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем
Интегрирование рациональных дробей[править | править код]
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Пример:
Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
Следовательно
Тогда
Теперь легко вычислить исходный интеграл
Интегрирование элементарных функций[править | править код]
Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.
См. также[править | править код]
- Символьное интегрирование
- Формулы Фруллани
- Универсальная тригонометрическая подстановка
- Подстановки Эйлера
Примечания[править | править код]
- ↑ Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 213.
- ↑ 1 2 См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Маллер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
- ↑ См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
- ↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111. Архивировано 11 февраля 2017 года.
Ссылки[править | править код]
- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
- Онлайн Калькулятор Интегралов