Канторова лестница

Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции $[0,1]\to [0,1]$, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».

Построения

Стандартное

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части $\left(0,{\frac {1}{3}}\right)$, $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ и $\left({\frac {2}{3}},1\right)$. На среднем сегменте полагаем $F(x)={\frac {1}{2}}$. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах $F(x)$ полагается равной ${\frac {1}{4}}$ и ${\frac {3}{4}}$. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах $F(x)$ определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями $F(x)$. На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи

Любое число $x\in [0,1]$ можно представить в троичной системе счисления $x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}$, $a_{i}\in \{0,1,2\}$. Если в записи $0{,}a_{1}a_{2}\dots$ встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность $0{,}b_{1}b_{2}\dots$ даёт запись значения канторовой лестницы в точке $x$ в двоичной системе счисления.

Свойства

• Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества.
• Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
• Канторова лестница не обладает свойством Лузина.

См. также

• Функция Минковского
• Фрактал