Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

Определение

Три типа конечных разностей.

Пусть для некоторой точки $x_{0}$ задано $n+1$ узлов интерполяции $x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n$ с шагом $h=\mathrm {const}$ и известны значения функции $f$ в этих узлах:

$f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.$

Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между $(k+1)$-м и $k$-м значениями $f$ в узлах интерполяции, то есть

$\Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-1.$

Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между $k$-м и $(k-1)$-м значениями $f$ в узлах интерполяции, то есть

$\nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n.$

Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между $(k+1)$-м и $(k-1)$-м значениями $f$ в узлах интерполяции, то есть

$\delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n-1.$

Разности высших порядков

Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между $(k+1)$-ой и $k$-ой конечными разностями 1-го порядка, то есть

$\Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2})-2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.$

Соответственно, восходящей конечной разностью порядка $m$ (для $m\leq n$) называют разность между $(k+1)$-ой и $k$-ой конечными разностями порядка $m-1$, то есть

$\Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,n-m.$

Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков:

$\nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),$

$\delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).$

Через операторы

Если ввести оператор смещения $\operatorname {E}$ такой, что $\operatorname {E} y_{k}=y_{k+1}$, то можно определить оператор восходящей конечной разности $\Delta$ как $\operatorname {E} -1$. Для него справедливо соотношение

$\Delta ^{k}=(\operatorname {E} -1)^{k}$,

которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления $\Delta$ заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков.

Общие формулы

Часто также используется другое обозначение: $\Delta _{h}^{m}(f,x)$ — восходящая конечная разность порядка $m$ от функции $f$ c шагом $h$, взятая в точке $x$. Например, $\Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)$. Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение $\nabla _{h}^{m}(f,x)$, а для центральных — $\delta _{h}^{m}(f,x)$.

В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов:

$\Delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$

$\nabla _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x-ih),$

$\delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\left(x+\left({\frac {m}{2}}-i\right)h\right).$

Общая формула для $\Delta _{h}^{m}(f,x)$ используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.

Пример

Пример вычисления конечных разностей

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для

${\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3,\\h&=&1.\end{array}}$

В зелёных клетках расположены значения $y_{0},\ldots ,y_{n}$, в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.

Связь с производными

Производная функции $f$ в точке $x$ определяется с помощью предела:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Под знаком предела стоит восходящая конечная разность $\Delta _{h}^{1}(f,x)$, делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора:

${\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.$

Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:

${\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.$

Центральная разность даёт более точное приближение:

${\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right),\;h\to 0.$

Конечные разности порядка $m$, делённые на шаг, возведённый в степень $m$, аппроксимируют производную порядка $m$. Порядок погрешности приближения при этом не меняется:

${\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\left(h^{2}\right).$

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Литература

• Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М. Численные методы . — 7-е изд.. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 636 с. — ISBN 978-5-9963-0449-3.
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

См. также

• Коэффициенты формул численного дифференцирования
• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения
• Метод конечных разностей
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Разделенная разность
• Биномиальные преобразования