Численное дифференцирование
Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.
Конечные разности[править | править код]
Производная функции в точке определяется с помощью предела:
В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции , в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции с некоторым достаточно малым шагом . Например, выражение
приближает производную функции в точке с точностью до величины, пропорциональной . Использование выражения
позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной .
Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.
Интерполяция[править | править код]
Если известны значения функции в некоторых узлах , то можно построить интерполяционный полином (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить
Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.
Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член , называемый погрешностью численного дифференцирования:
Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.
Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой и второй производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом , полученных с использованием формулы Лагранжа:
- (два узла):
- (три узла):
- (три узла):
- (четыре узла):
Здесь , , а — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.
В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.
Неустранимая погрешность[править | править код]
В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом значения функции делятся на , где — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом неустранимые погрешности в значениях функции оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага , так как погрешность собственно метода стремится к нулю при , а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при . Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.
Комплексные числа[править | править код]
Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом[1]:
где — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:
В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:
Интеграл можно вычислять приближённо.
Литература[править | править код]
- Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
- Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
- Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.
Примечания[править | править код]
- ↑ Complex Step Differentiation . Дата обращения: 4 мая 2021. Архивировано 6 мая 2021 года.
См. также[править | править код]
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|