Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр.

Определение

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что $x^{n}=0$.

Минимальное значение $n$, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента $a$.

Примеры

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

нильпотентна, поскольку $A^{3}=0$. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

• В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 3² сравнимо с 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию $ab=0$. Тогда элемент $c=ba$ нильпотентен, поскольку $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$. Пример для матриц (в качестве a и b):

$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Здесь $AB=0,BA=B$.

• Кольцо сплит-кватернионов содержит конус нильпотентных элементов.

• По определению любой элемент нильполугруппы нильпотентен.

Свойства

• Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

• Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен $t^{n}$.

• Если элемент x нильпотентен, то $1-x$ является обратимым элементом, поскольку из $x^{n}=0$ следует:

  $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

• Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца $R$ образуют идеал ${\mathfrak {N}}$, что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент $x$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале ${\mathfrak {p}}$ этого кольца, поскольку $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$. Таким образом, ${\mathfrak {N}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент $x$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней $x$: $S=\{1,x,x^{2},...\}$, чтобы получить ненулевое кольцо $S^{-1}R$. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам ${\mathfrak {p}}$ кольца $R$ с ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент $x$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда ${\mathfrak {N}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов.

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли

Пусть ${\mathfrak {g}}$ — Алгебра Ли. Тогда элемент ${\mathfrak {g}}$ называется нильпотентным, если он в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ и $\operatorname {ad} x$ является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли.

Нильпотентность в физике

Операнд Q, удовлетворяющий условию $Q^{2}=0$ нильпотентен. Числа Грассмана, которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует $n\in \mathbb {N}$, такой, что $Q^{n}=0$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с $n=2$). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса как показал Эдвард Виттен в признанной статье.

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы (кокватернионы), расщеплённые октанионы, бикватернионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ и комплексные октанионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$.

См. также

• Идемпотентный элемент
• Унипотентный элемент
• Приведённое кольцо
• Ниль-идеал