Простое число Вильсона

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона) — это простое число $p$, такое, что $p^{2}$ делит $(p-1)!+1$, где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое $p$ делит $(p-1)!+1$.

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅10¹³.

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}$.

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.

Проект распределённых вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона. Другой поиск координируется проектом mersenneforum.

Обобщения

Почти простые Вильсона

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p²) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 10⁶ до 4⋅10¹¹:

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Числа Вильсона

Число Вильсона — это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

$W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}$

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа $1$ имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅10⁸.

См. также

• Простое число Вифериха
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вольстенхольма
• PrimeGrid

Литература

• N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²) (англ.) // The Messenger of Mathematics : journal. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
• Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1953. — Vol. 28, no. 2. — P. 252—256. — doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
• Paulo Ribenboim The new book of prime number records (неопр.). — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
• Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 433—449. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
• Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (англ.). — Springer-Verlag, 2001. — P. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
• Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.

Ссылки

• The Prime Glossary: Wilson prime (недоступная ссылка)
• Weisstein, Eric W. Wilson prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Status of the search for Wilson primes (англ.)
• Wilson Quotients for composite moduli (англ.)
• On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson (недоступная ссылка)