Прямоугольный дельтоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Прямоугольный дельтоид с описанной и вписанной окружностями. Углы при вершинах слева и справа прямые.

Прямоугольный дельтоид — это дельтоид (четырёхугольник, стороны которого можно сгруппировать в две пары смежных сторон одинаковой длины), который может быть вписан в окружность[1]. То есть это дельтоид с описанной окружностью (вписанный дельтоид). Тогда прямоугольный дельтоид является выпуклым четырёхугольником и имеет два противоположных прямых угла[2].

Вписанная окружность[править | править код]

Все прямоугольные дельтоиды являются вписанно-описанными четырёхугольниками (у которых есть описанная и вписанная окружность), поскольку все дельтоиды имеют вписанную окружность. Одна из диагоналей (которая служить осью симметрии) делит прямоугольный дельтоид на два прямоугольных треугольника и является также диаметром описанной окружности.

В описанном четырёхугольнике (то есть обладающем вписанной окружностью), четыре отрезка между центром вписанной окружности и точками касания четырёхугольника разбивают четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.

Специальный случай[править | править код]

Специальным случаем прямоугольных дельтоидов являются квадраты, у которых диагонали имеют одинаковую длину и вписанная и описанная окружности концентричны.

Описание[править | править код]

Дельтоид является прямоугольным дельтоидом тогда и только тогда, когда он имеет описанную окружность (по определению). Это эквивалентно тому, что дельтоид имеет два противоположных прямых угла.

Формулы[править | править код]

Поскольку прямоугольный дельтоид можно разбить на два прямоугольных треугольника, следующие формулы легко получаются из хорошо известных свойств прямоугольных треугольников. В прямоугольном дельтоиде ABCD, где два противоположных угла B и D прямые, два других угла могут быть вычислены из

,

где a = AB = AD и b = BC = CD. Площадь прямоугольного дельтоида равна

Диагональ AC, которая является осью симметрии, имеет длину

и, поскольку диагонали перпендикулярны (так что прямоугольный дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником с площадью ), другая диагональ BD имеет длину

Радиус описанной окружности равен (согласно теореме Пифагора)

и, поскольку все дельтоиды являются описанными, радиус вписанной окружности задаётся формулой

,

где s является полупериметром.

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как[3].

Если мы обозначим отрезки на диагоналях от точки пересечения до вершин по часовой стрелке через , то

Это прямое следствие теоремы о среднем геометрическом.

Двойственность[править | править код]

Двойственным многоугольником[en] для прямоугольного дельтоида является равнобочная трапеция[en][1].

Альтернативное определение[править | править код]

Иногда прямоугольный дельтоид определяется как дельтоид с по меньшей мере одним прямым углом[4]. Если имеется только один прямой угол, он должен быть между двумя сторонами равной длины. В этом случае формулы, приведённые выше, не работают.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 de Villiers, 2009, с. 154, 206.
  2. de Villiers, 1994, с. 11–18.
  3. Josefsson, 2012, с. 237–24.
  4. 1728 Software Systems, Kite Calculator, accessed 8 October 2012. Дата обращения: 29 марта 2019. Архивировано 6 сентября 2021 года.

Литература[править | править код]

  • Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Key Curriculum Press, 2009. — ISBN 978-0-557-10295-2.
  • Michael de Villiers. The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals // For the Learning of Mathematics. — 1994. — Т. 14, вып. 1. — JSTOR 40248098.
  • Martin Josefsson. Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 237–241.