Пятиугольное число

Геометрическое представление первых пятиугольных чисел

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Общая формула для $n$-го по порядку пятиугольного числа:

$P_{n}^{(5)}={\frac {3n^{2}-n}{2}}$

Определение

Пятиугольные числа, как и все прочие классические $k$-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна $k-2=3$:

$1+4+7+10+\dots$

Можно также определить $n$-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

$P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\dots +(2n-1)$

Сумма $n$-го квадратного числа с $(n-1)$-м треугольным числом даёт $n$-е пятиугольное число:

$n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)}$

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век).

Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:

$P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n-1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3$

Свойства

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными:

$P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}$

Если в формуле ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ указать для $n$ более общую последовательность:

$n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots$

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (последовательность A001318 в OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

$(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots$

Степени $x$ в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел.

Проверка на пятиугольное число

Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число $x>2$ пятиугольным.

Решение. Вычислим значение выражения:

$n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.$

$x$ является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда $n$ — целое число, причём номер $x$ в последовательности пятиугольных чисел равен $n.$

Квадратные пятиугольные числа

Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (последовательность A036353 в OEIS

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
• Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

Ссылки

• Фигурные числа  (неопр.). Издательская группа ОСНОВА. Дата обращения: 10 февраля 2021.
• Weisstein, Eric W. Figurate Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.