Треугольное число

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, $n$-е треугольное число $T_{n}$ — это сумма $n$ первых натуральных чисел:

${\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=&\ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}$

и т. д. Общая формула для $n$-го по порядку треугольного числа:

$T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\dots$;

Последовательность треугольных чисел $T_{n}$ бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер $n=0.$

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел, они тесно связаны с многими другими классами целых чисел.

Свойства

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа:

$T_{n}=T_{n-1}+n$.

Разложение треугольного числа с нечётным номером.

Разложение треугольного числа с чётным номером

Следствия ($n>1$):

$T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1$.

$T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1$.

$T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n}$ (см. рисунок слева).

$T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1}$. (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции:

$T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn$

$T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}$

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой $2,4,7,9.$ Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел.

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул:

$S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6}}$

или:

$S_{m}=1+3+6+\dots +{\frac {m(m+1)}{2}}={\frac {m(m+1)(m+2)}{6}}$

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

$1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty }\left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2$

Восемь треугольных чисел и ещё одна точка образуют полный квадрат

Критерий треугольности числа

Натуральное число $x$ является треугольным тогда и только тогда, когда число $8x+1$ является полным квадратом.

В самом деле, если $x$ треугольное, то $8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$ Обратно, число $8x+1$ нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа $a,$ то $a$ тоже нечётно: $a=2n+1,$ и мы получаем равенство: $8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,$ откуда: $x={\frac {n(n+1)}{2}}$ — треугольное число ■.

Следствие: номер числа $x$ в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

$n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.$

Применение

См. также: A000217

Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент $T_{n}=C_{n+1}^{2}$ число $T_{n}$ определяет число сочетаний для выбора двух элементов из $n+1$ возможных.

Связи между объектами

Если $n$ объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

$T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}$

Это видно из того, что каждый из $n$ объектов соединяется с остальными $n-1$ объектами, так что получается $n(n-1)$ соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для $n$ человек или количество шахматных партий в турнире с $n$ участниками равны $T_{n-1}.$ Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с $n$ сторонами (n>3) равно:

$T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2}}$

Разбиения круга секущими

Максимальное количество $p$ кусков, которое можно получить с помощью $n$ прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно $T_{n}+1$ (см. Центральные многоугольные числа, последовательность A000124 в OEIS).

Тетраксис в христианской мистике {Якоб Бёме, XVII век)

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел: $666=15^{2}+21^{2}.$

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет.

Связь с другими классами чисел

Любое $k$-угольное число $P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)$ может быть выражено через треугольные:

$P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{n}$

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть:

$T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;$ (формула Теона Смирнского.

Примеры:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого $k\geqslant 3$ разность между $(k+1)$-угольным и $k$-угольным числами с одним и тем же номером есть треугольное число:

$P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1}$

Предыдущая формула получается при $k=3.$

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чисел:

$\{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.$

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (последовательность A003098 в OEIS):

$1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\dots$

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»): $1,36,1225,41616,1413721\dots$ (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

• пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

• шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
• семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших $10^{22166},$ не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует.

Четыре треугольных числа $1,3,15,4095$ являются одновременно числами Мерсенна (последовательность A076046 в OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел $1,10,120,1540,7140$ (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).

Четыре числа $1,55,91,208335$ одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно:

• треугольным и кубическим;
• треугольным и биквадратным;
• треугольным и пятой степенью целого числа;

Каждое чётное совершенное число является треугольным.

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом.

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов первых $n$ натуральных чисел. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, $15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.$

Производящая функция

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при $|x|<1$:

${\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\dots +T_{n}x^{n}+\dots$

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чисел.

Вариации и обобщения

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном $d$-мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа:

$T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}$

Их частным случаем выступают:

• $T_{n}^{[2]}$ — треугольные числа.
• $T_{n}^{[3]}$ — тетраэдральные числа.
• $T_{n}^{[4]}$ — пентатопные числа.

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода:

$T_{n}=S(n+1,n)$

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие.. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
• Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

Ссылки

• Фигурные числа  (рус.). Издательская группа ОСНОВА.
• Villemin, Gérard. Nombres Triangulaires (фр.). Nombres — Curiosités, théorie et usages (2007).
• Weisstein, Eric W. Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.