Стохастический интеграл

Стохастический интеграл — интеграл вида $\int f(t)dy(t)$, где ${y(t),t\in T}$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Введем гильбертово пространство $H$ случайных величин $\xi$, $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$, со скалярным произведением $(\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2}}}$ и среднеквадратичной нормой $\left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2}$. Здесь $\mathbb {E}$ - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.

Пусть $T$ - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ задана стохастическая аддитивная функция $\eta (\Delta )$ с ортогональными значениями из гильбертова пространства $H$ случайных величин $\xi$, $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$, обладающая свойствами:

• Для любых непересекающихся $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$, величины $\eta (\Delta _{1})$,$\eta (\Delta _{2})$ являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
• Если $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$ являются непересекающимися полуинтервалами и $\Delta _{1}\cup \Delta _{2}$ составляет полуинтервал, то $\eta (\Delta _{1}\cup \Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
• $\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$. Здесь $\left\|\right\|$ - норма в гильбертовом пространстве, $\left|\Delta \right|=t-s$ при $\Delta =\left(s,t\right]$.

Пусть $\varphi (t)$ детерминированная функция, удовлетворяющая условию $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций $\varphi _{n}(t)$, аппроксимирующих функцию $\varphi (t)$ так, что $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$,

Стохастическим интегралом $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ от детерминированной функции $\varphi (t)$ называется предел $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл

$\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),$

где ${\omega (t),t\in T}$ — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал $[0;T]$ точками $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{N+1}=T$ на $N$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений:

$I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]$ или $I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].$

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса

$I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.$

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру $\lambda$ сумму интегралов $I_{0}$ и $I_{1}$ следующей формулой:

$I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],$

при $0\leqslant \lambda \leqslant 1$. Интеграл $I_{0}$ соответствует интегралу Ито, а $I_{0,5}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид

$I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].$

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид

$\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].$

Его основные свойства:

• $E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
• $cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Здесь $m(t)$ — функция среднего значения, $r(t)$ — ковариационная функция.

Интеграл Винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число $\alpha$. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции $x(t,\alpha )$. Интеграл вида

$\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )$

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства $x(0,\alpha )=0$:

$\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.$

Его основные свойства:

$\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0$.

$\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt$.

См. также

• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Литература

• Острём, К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
• Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.