Стохастический интеграл — интеграл вида
, где
— случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса[1].
Стохастический интеграл от детерминированной функции[править | править код]
Введем гильбертово пространство
случайных величин
,
, со скалярным произведением
и среднеквадратичной нормой
. Здесь
- обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.[2]
Пусть
- конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида
задана стохастическая аддитивная функция
с ортогональными значениями из гильбертова пространства
случайных величин
,
, обладающая свойствами:
- Для любых непересекающихся
,
, величины
,
являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: ![{\displaystyle \left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6af5030dbfdf653b49b7c98e1a1872ee1cad17e)
- Если
,
являются непересекающимися полуинтервалами и
составляет полуинтервал, то ![{\displaystyle \eta (\Delta _{1}\cup \Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaa3c8c5463249efda91fd5af0c256239dc5e54)
. Здесь
- норма в гильбертовом пространстве,
при
.
Пусть
детерминированная функция, удовлетворяющая условию
. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций
, аппроксимирующих функцию
так, что
,
Стохастическим интегралом
от детерминированной функции
называется предел[3]
Стохастический интеграл от стохастического процесса[править | править код]
Рассмотрим интеграл
![{\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6efe9f89312d905ae40a894ba18002d3394d12)
где
— винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал
точками
на
подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений[4]:
или ![{\displaystyle I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d4304545a0c9990a9eb2c9684e1c6a5a6ced34)
Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса[5]
![{\displaystyle I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f61010aa12876c3ddd0b30415bbb307ed361d8)
Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру
сумму интегралов
и
следующей формулой[5]:
![{\displaystyle I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddc5932e066fd320c614160e512b48b8990bcf3)
при
. Интеграл
соответствует интегралу Ито, а
совпадает с интегралом Стратоновича.
Интеграл Стратоновича имеет вид[6]
![{\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fc913d26bf78b0cb3f4550501b43c529076873)
Интеграл Ито имеет вид[5]
![{\displaystyle \int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6619d31ffd0876aa83e614c729d3ad17795a71a)
Его основные свойства[5]:
![{\displaystyle E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7d4ea54bdbbe2c3d9e156d0409f2ceece0d355)
![{\displaystyle cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc6b5b8090d35caeebc6356d0b89bdf1e5aed5d)
Здесь
— функция среднего значения,
— ковариационная функция.
Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число
. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции
. Интеграл вида
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288692720c65d2c8dfa304e09b1c4198f8c0ace8)
называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства
[7]:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08f5e82494572292444c53d696a311f6d4ca972)
Его основные свойства:
[8].
[9].
- ↑ Острём, 1973, с. 68.
- ↑ Розанов, 1982, с. 57.
- ↑ Розанов, 1982, с. 64.
- ↑ Острём, 1973, с. 70.
- ↑ 1 2 3 4 Острём, 1973, с. 71.
- ↑ Острём, 1973, с. 72.
- ↑ Винер, 1961, с. 20.
- ↑ Винер, 1961, с. 21.
- ↑ Винер, 1961, с. 24.
- Острём, К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
- Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
- Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.