Стоячая волна

Пример стоячей волны (чёрная линия), возникшей в результате интерференции двух гармонических волн (красная и синяя линии) одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся во встречных направлениях. Красные точки обозначают узлы — точки или области в пространстве, в которых амплитуда колебательного процесса минимальна и равна разности амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в узлах равна нулю). Посередине между каждой парой соседних узлов располагается пучность — точка или область в пространстве, в которой амплитуда максимальна и равна сумме амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в пучностях вдвое больше амплитуды каждой из интерферирующих волн). Фаза колебательного процесса стоячей волны при переходе через узел меняется на 180° (говорят, что колебания синфазны в пространстве с точностью до 180°). В данном примере расстояние между соседними узлами составляет половину длины волны интерферирующих волн, значение коэффициента стоячей волны (отноношение амплитуд колебаний в пучности и узле) стремится к бесконечности

Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

Стоя́чая волна́ (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отражённой волн.

Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.

Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отражённой волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отражённая волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

• 
  Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода
• 
  Более высокая мода стоячей волны на упругом диске

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

$u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi ),$

где $u$ — возмущения в точке $x$ в момент времени $t,$

$u_{0}$ — амплитуда стоячей волны,

$\omega$ — частота,

$k$ — волновой вектор,

$\varphi$ — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Моды

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определённые дискретные значения. Колебания с определёнными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отражённую волны в виде:

$y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t),$

$y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t),$

где $y_{0}$ — амплитуда волны,

$\omega$ — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,

$k$ — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как $2\pi /\lambda ,$

$x$ и $t$ — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны $y$ будет в виде суммы $y_{1}$ и $y_{2}:$

$y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).$

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

$y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).$

Если рассматривать моды $x=0,\lambda /2,\lambda ,3\lambda /2,...$ и антимоды $x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...$, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны $\lambda /2$.

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера):

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=0,$

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=f_{0}u,$

где $f_{0}$ — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определённой точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

См. также

• Фигуры Хладни
• Интерференция
• Голография
• Длинная линия
• Телеграфные уравнения

Ссылки

• Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»