Теорема Эйлера о треугольнике

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом в 1746 году.

Формулировка

Расстояние $d$ между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

$d^{2}=R^{2}-2Rr.$

где $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

$d^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]$

где $a,b,c$ — стороны треугольника.

Замечания

• Приведённую формулу можно переписать следующим образом

  ${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$.

или

$(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},$

• Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера

  $R\geq 2r$.

  • Существует более сильная форма этого неравенства, а именно:

    ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

где $a,b,c$ — стороны треугольника.

• Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Доказательство

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $\Delta ABC$, а $I$ — центр вписанной окружности. Если луч $AI$ пересекает описанную окружность в точке $L$, то $L$ является средней точкой дуги $BC$. Проведём луч $LO$ и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как $M$. Тогда $LM$ будет диаметром описанной окружности. Из точки $I$ опустим перпендикуляр $ID$ на $AB.$ Тогда $ID=r.$ Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

$R^{2}-d^{2}=2Rr.$

Можно заметить, что слева стоит степень точки $I$ относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство $LI\cdot IA=2Rr$. По лемме о трезубце $LI=LB,$ значит, достаточно доказать, что $LB\cdot IA=2Rr$. Теперь заметим, что $2R=LM$ и $r=ID,$ то есть, требуемое равенство можно переписать в виде $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ Перепишем его ещё немного: $LB/LM=ID/IA$. Это равенство следует из подобия треугольников $\triangle AID$ и $\triangle MLB$. В самом деле, углы $B$ и $D$ у этих треугольников прямые, а углы $A$ и $M$ равны, потому что оба опираются на дугу $BL$ (более того, отношение $LB/LM=ID/IA$ равно синусу угла $\angle BAL$).

Вариации и обобщения

Для центра вневписанной окружности

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

$(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},$

где $r_{out}$ — радиус одной из вневписанных окружностей, а $d_{out}$ — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности.

Для многоугольников

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.

• Для радиусов $R$ и $r$ соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния $d=x$ между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

  ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$,

или эквивалентно,

$d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$

• Это соотношение называют Теоремой Фусса. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом в 1792 году.

• Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные $n$-угольники.

См. также

• Поризм Понселе

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.