Чевиана

Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (или её продолжении). Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, доказавшего известную теорему о чевианах, которая носит его имя. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника являются специальными случаями чевиан.

Длина

Треугольник с чевианой длины d

Теорема Стюарта

Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задаётся формулой

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

Медиана

Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле

$m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

или

$2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

поскольку

$a=2m.$

Следовательно,

$d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.$

Биссектриса

Если чевиана является биссектрисой, её длина удовлетворяет формуле

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),$

и

$d^{2}+mn=bc$

откуда

$d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$,

где полупериметр s = (a+b+c)/2.

Сторона a делится в пропорции b:c.

Высота

Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}$

и

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},$

где полупериметр s = (a+b+c) / 2.

Свойства отношений

Три чевианы, проходящие через общую точку

Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку. Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;$ (Теорема Чевы)

${\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};$ (Теорема Ван-Обеля о треугольнике)

${\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;$ (Теорема Жергонна)

${\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.$ (Теорема Жергонна)

Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений даёт тождество 1 + 1 + 1 = 3.

Делители периметра

Делители периметра треугольника — это чевиана, которая делит периметр пополам. Три таких делителя пересекаются в точке Нагеля треугольника.

Делители площади

Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.

Трисектрисы

Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя правильный треугольник, называемый треугольником Морли.

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами

Теорема Рауса определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трёх чевиан, по одной из каждой вершины.

См. также

• Биссектриса
• Высота треугольника
• Инцентр
• Симедиана
• Теорема Менелая
• Центроид