Числа Леонардо

Числа Леонардо — последовательность чисел, задаваемая зависимостью:

$L(n):={\begin{cases}1&{\text{если }}n=0;\\1&{\text{если }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)+1&{\text{если }}n>1.\\\end{cases}}$

Эдсгер Дейкстра использовал их как составную часть своего алгоритма плавной сортировки, и изучил их некоторые особенности.

Взаимосвязь с числами Фибоначчи

Числа Леонардо связаны с числами Фибоначчи через формулу$L(n)=2F(n+1)-1,n\geqslant 0$.

Из этой формулы прямо следует выражение для чисел Леонардо, аналогичное формуле Бине для чисел Фибоначчи:

$L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )}}-1={\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1$

где $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ является золотым сечением, и кроме того $\varphi$ и $1-\varphi =(1-{\sqrt {5}})/2$ являются корнями квадратного уравнения $x^{2}-x-1=0.$

Первые двадцать членов последовательности чисел Леонардо таковы:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 —

последовательность A001595 в OEIS

Отношение соседних чисел Леонардо, так же, как и соседних чисел Фибоначчи, стремится к золотому сечению.