Числа Фибоначчи

Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21

Спираль Фибоначчи: приближение золотой спирали, созданной путём рисования круговых дуг, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи; (см. предыдущее изображение)

Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания — Фибона́чи) — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Правда, в некоторых книгах, особенно в старых^{[каких?]}, член $F_{0}$, равный нулю, опускается — тогда последовательность Фибоначчи начинается с $F_{1}=F_{2}=1$.

Говоря более формально, последовательность чисел Фибоначчи $\{F_{n}\}$ задаётся линейным рекуррентным соотношением:

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$,

где $\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z}$.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений $n$ как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Соответственно, члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$:

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Легко заметить, что $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$.

Происхождение

Количество пар кроликов образуют последовательность Фибоначчи

Страница Книги абака (лат. Liber abaci) Фибоначчи из Национальной центральной библиотеки Флоренции.
В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи. Позиции от 0 до 12 обозначены тёмным цветом римскими цифрами, а значения красным цветом индо-арабскими цифрами

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1, либо L к образцу длиной n − 2 — и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают, — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год.

• В начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1).
• В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1).
• В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2).
• В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3).
• В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5).

В конце $n$-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть $F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$. Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей экспоненциальный рост популяции.

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка.

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение $F_{n}$ как функцию от n:

$F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},$

где $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — золотое сечение и $\varphi$ и $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ являются корнями характеристического уравнения $x^{2}-x-1=0.$ Вообще, аналогичная формула существует для любой линейной рекуррентной последовательности, какой служит и последовательность Фибоначчи.

Обоснование

Преобразуем характеристическое уравнение $x^{2}-x-1=0$ к виду $x^{2}=x+1,$ умножим обе части на $x$: $x^{3}=x^{2}+x$ — и заменим в этой сумме $x^{2}$ на $x+1$, что мы можем сделать в силу характеристического уравнения. Получим $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ Затем продолжим так же умножать на $x$ и преобразовывать $x^{2}$, следуя первоначальному уравнению:

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&=3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x=\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end{aligned}}$

Таким образом образуется общее уравнение: $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ Чтобы это уравнение обратить в верное равенство и отсюда выразить сами числа Фибоначчи, нужно подставить корни $\varphi$ и $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Black}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}\right)=F_{n-1}.$

Следствие и обобщение

Из формулы Бине следует, что для всех $n\geqslant 0$ число $F_{n}$ есть округление ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ то есть $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ В частности, при $n\to \infty$ справедлива асимптотика $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

$F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).$

При этом соотношение $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$ выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Иллюстрация формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи

• $F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$

Доказательство

Докажем формулу индукцией по n:

База индукции: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Шаг индукции: пусть утверждение для $n$ верно:

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Тогда надо доказать утверждение для $n+1\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Раскладываем $F_{n+3}$ на $F_{n+2}$ и $F_{n+1}\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1$

Сокращаем обе части на $F_{n+1}\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,$

что и требовалось доказать. ∎

• $F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Доказательство

Докажем формулу индукцией по n:

База индукции: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Шаг индукции: Пусть утверждение для $n$ верно:

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Тогда надо доказать утверждение для $n+1\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Раскладываем $F_{2n+2}$ на $F_{2n+1}$ и $F_{2n}\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.$

Сокращаем обе части на $F_{2n+1}\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

что и требовалось доказать. ∎

• $F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$

Это тождество можно доказать вычитанием первого из второго: ${\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3}+\dots +F_{2n-1})&=F_{{\color {Red}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\dots +F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}$

• $F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$
• $F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}$ (см. рис.).
• $F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$
• $F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$
• $F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$
• $F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
• $F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots$, где $C_{n}^{k}$ — биномиальные коэффициенты.

И более общие формулы:

• $F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}.$
• $F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
• $F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}.$
• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: $F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1),$ то есть

  $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$, а также $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

где матрицы имеют размер $n\times n$ и где i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

  $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),$

  $F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).$

• Для любого n справедливо

  ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.$

• Как следствие, подсчёт определителей даёт тождество Кассини:

$(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.$

• С равенством Кассини сопряжено более общее утверждение, названное в честь Эжена Каталана:$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.$

• $F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.$
  Это утверждение выводится из тождества Кассини при помощи основного соотношения чисел Фибоначчи: $(-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2}$ $\Longleftrightarrow$ $0={\color {Red}F_{n+1}}^{2}-{\color {Red}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2}+(-1)^{n}).$

Свойства

Тринадцать ($F_{7}$) способов расположения длинных (красные) и коротких слогов (серые) в каденции длины шесть: пять ($F_{5}$) заканчивается длинным слогом и восемь ($F_{6}$) — коротким

Числа Фибоначчи — это суммы «мелких» диагоналей (показаны красным) треугольника Паскаля

Последовательные наклоны плоскости и график приближений к золотому сечению, рассчитанному путём деления каждого числа Фибоначчи на предыдущее

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$ Следствия:
  • $F_{m}$ делится на $F_{n}$ тогда и только тогда, когда $m$ делится на $n$ (за исключением $n=2$). В частности, $F_{m}$ делится на $F_{3}=2$ (то есть является чётным) только для $m=3k;$ $F_{m}$ делится на $F_{4}=3$ только для $m=4k;$ $F_{m}$ делится на $F_{5}=5$ только для $m=5k$ и т. д.
  • $F_{m}$ может быть простым только для простых $m$ (с единственным исключением $m=4$). Например, число $F_{13}=233$ простое, и его индекс 13 также прост. Но, даже если число $m$ простое, число $F_{m}$ не всегда оказывается простым, и наименьший контрпример — $F_{19}=4181=37\cdot 113.$ Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен $x^{2}-x-1$ имеет корни $\varphi$ и $-{\frac {1}{\varphi }}.$
• Отношения ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ являются подходящими дробями золотого сечения $\phi \colon$ в частности, $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

  $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n-k \choose k}.$

• Нахождение числа Фибоначчи $F_{n}$ с помощью Бинома Ньютона $F_{n}={1 \over 2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n \choose 2k+1}5^{k}$

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

  $F_{0}=0^{2}=0,$ $F_{1}=1^{2}=1,$ $F_{2}=1^{2}=1,$ $F_{12}=12^{2}=144.$

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

  $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

  • В частности, 1/998,999 = 0.001001002003005008013021…
• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

  $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y+2y$

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа $n$ называется периодом Пизано и обозначается $\pi (n)$. Периоды Пизано $\pi (n)$ образуют последовательность:

  1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS).

  • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом $\pi (10)=60$, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом $\pi (100)=300$, последние три цифры — с периодом $\pi (1000)=1500,$ последние четыре — с периодом $\pi (10000)=15000,$ последние пять — с периодом $\pi (100000)=150000$ и т. д.
• Натуральное число $N$ является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда $5N^{2}+4$ или $5N^{2}-4$ является квадратом.
• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.
• Число Фибоначчи $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом $F_{n+1}$ равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а $F_{n}$ — начинающихся с единицы.
• Произведение любых $n$ подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых $n$ чисел Фибоначчи.
• Бесконечная сумма чисел, обратных числам Фибоначчи, сходится, его сумма («обратная постоянная Фибоначчи») равна 3,359884...

Вариации и обобщения

Основная статья: Обобщение чисел Фибоначчи

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка $F_{n}=U_{n}(1,-1)$.
  • При этом их дополнением являются числа Люка $L_{n}=V_{n}(1,-1)$.

В других областях

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательные числа Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Числа Фибоначчи в интерьере станции метро Ломоносовский проспект

Число возможных предков на линии наследования Х-хромосомы в данном поколении предков следует последовательности Фибоначчи (Хатчисон Л. Растущее семейное древо: сила ДНК в восстановлении семейных отношений)

Иллюстрация модели Фогеля для n = 1 ... 500

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат.

В природе

• Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи, если листья (почки) на однолетнем приросте (побеге, стебле) имеют так называемое спиральное листорасположение. При этом число последовательно расположенных листьев (почек) по спирали плюс один, а также число совершенных при этом полных оборотов спирали вокруг оси однолетнего прироста (побега, стебля) выражаются обычно первыми числами Фибоначчи.
• Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.

В искусстве

В поэзии чаще находят отношение «золотого сечения» (золотую пропорцию), связанное через формулу Бине с числами Фибоначчи. Например, в поэме Ш. Руставели «Витязь в тигровой шкуре» и на картинах художников.

Однако числа Фибоначчи встречаются и непосредственно в поэзии и в музыке

В кодировании

В теории кодирования предложены устойчивые так называемые «коды Фибоначчи», причём основание этих кодов — иррациональное число.

См. также

• Дерево Фибоначчи
• Метод Фибоначчи с запаздываниями
• Метод Фибоначчи поиска экстремума
• Фибоначчи
• Фибоначчиева система счисления
• Числа Бине
• Числа Леонардо
• Таблица Витхоффа
• Последовательность коров Нараяны
• Золотое сечение
• Пропорционирование
• Последовательность без простых чисел

Литература

• Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• А. Н. Рудаков. Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷ − 1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
• Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0.
• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
• Bóna, Miklós [in английский] (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2.
  • Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0.
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9.
• Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (англ.). — First trade paperback. — New York City: Broadway Books, 2003. — ISBN 0-7679-0816-3.
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (фр.), vol. 1, Paris: Gauthier-Villars, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ.
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Ссылки

• Первые 300 чисел Фибоначчи (англ.)
• Числа Фибоначчи в природе (англ.)