Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка[править | править код]

Для любых точек $A,B,C,D$ плоскости выполнено неравенство

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABCD$ — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки $A,B,C,D$ лежат на одной прямой.

Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке $A$ ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек $B$ , $C$ , $D$ .^[1]
Существует способ доказательства через прямую Симсона.
Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку $E$ такую, что $\angle ABE=\angle DBC$ , а потом через подобие треугольников.
Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Теорема Помпею.^[2] Рассмотрим точку $X$ и правильный треугольник $ABC$ . Тогда из отрезков $XA$ , $XB$ и $XC$ можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ .

Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Соотношение Бретшнайдера
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если $A_{1},A_{2},\dots A_{6}$ произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)^[3]), то

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6}\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

A_{1}\dots A_{6}

— вписанный шестиугольник.

Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности $\alpha ,\beta ,\gamma$ и $\delta$ , касающиеся данной окружности в вершинах $A,B,C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ . Пусть $t_{\alpha \beta }$ — длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta \gamma },t_{\gamma \delta }$ и т. д. определяются аналогично. Тогда

t_{\alpha \beta }t_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }t_{\beta \delta }

.

↑ Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии Архивная копия от 26 мая 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
↑ О теореме Д. Помпейю Архивная копия от 17 декабря 2004 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
↑ Теорема Птолемея (неопр.). Дата обращения: 17 мая 2011. Архивировано 26 мая 2009 года.
↑ Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея)", Journal of Graph Theory, 5 (3): 323—331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR 0625074.

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 328-329. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0.