Конические координаты

Координатные поверхности конических координат. Постоянные b и c равны 1 и 2 соответственно. Красная сфера соответствует r = 2, синий эллиптический конус вокруг оси z соответствует μ=cosh(1), жёлтый эллиптический конус вокруг оси x соответствует ν² = 2/3. Три поверхности пересекаются в точке P (показана чёрным цветом) с декартовыми координатами примерно (1.26, -0.78, 1.34).

Конические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер (радиус r) и двумя семействами перпендикулярных конусов, направленных вдоль осей z и x.

Основные определения

Конические координаты $(r,\mu ,\nu )$ определяются выражениями

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}},$

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}},$

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}},$

при этом на координаты накладываются ограничения

$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.$

Поверхности постоянного r представляют собой сферы радиуса r с центром в начале координат:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

поверхности постоянных $\mu$ и $\nu$ являются взаимно перпендикулярными конусами:

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$

и

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.$

Масштабные множители

Масштабным множителем для радиуса r является единица (h_r = 1), как в сферических координатах. Для конических координат масштабные множители имеют вид

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$

и

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.$

Другой вариант определения

Существует другой набор конических координат:

${\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end{aligned}}$

где $\{r,\theta ,\phi \}$ — сферические полярные координаты. Обратное преобразование:

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }}\operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }}),\\\theta &=\zeta .\end{aligned}}$

Малое евклидово расстояние между двумя точками в данных координатах:

${\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+\operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }})^{2}\operatorname {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }})\operatorname {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi }})\operatorname {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}$

Если путь между двумя точками ограничен поверхностью конуса, задаваемого $\zeta ={\frac {\pi }{4}}$, то геодезическое расстояние между двумя точками $\{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4}}\}$ и $\{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4}}\}$ выражается как $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2}.$

Литература

• Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.). — New York: McGraw-Hill Education, 1953. — С. 659. — ISBN 0-07-043316-X.
• Margenau H., Murphy G.M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.). — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 183—184.
• Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.). — New York: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 179.
• Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.). — New York: Springer Verlag, 1967. — С. 991—100.
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists (неопр.). — 2nd. — Orlando, FL: Academic Press, 1970. — С. 118—119.
• Moon P., Spencer D.E. Conical Coordinates (r, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.). — corrected 2nd ed., 3rd print. — New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 37—40 (Table 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2.

Ссылки

• Описание конических координат в MathWorld