Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами . Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.
Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.
Двумерные параболические координаты [ править | править код ]
Двумерные параболические координаты
(
σ
,
τ
)
{\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}
определяются выражениями
{
x
=
σ
τ
y
=
1
2
(
τ
2
−
σ
2
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end{matrix}}\right.}
Поверхности постоянной
σ
{\displaystyle \sigma }
являются конфокальными параболами
2
y
=
x
2
σ
2
−
σ
2
{\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}
расширяющимися вверх (вдоль луча
+
y
{\displaystyle +y}
), а поверхности постоянной
τ
{\displaystyle \tau }
— это конфокальные параболы
2
y
=
−
x
2
τ
2
+
τ
2
{\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}
расширяющиеся вниз (вдоль луча
−
y
{\displaystyle -y}
). Фокусы всех парабол расположены в начале координат.
Дифференциальные характеристики двумерных координат [ править | править код ]
Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны
H
σ
=
H
τ
=
σ
2
+
τ
2
.
{\displaystyle H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}.}
Таким образом, элемент площади равен
d
S
=
(
σ
2
+
τ
2
)
d
σ
d
τ
,
{\displaystyle dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,}
а лапласиан равен
Δ
Φ
=
1
σ
2
+
τ
2
(
∂
2
Φ
∂
σ
2
+
∂
2
Φ
∂
τ
2
)
.
{\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}
Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.
Трёхмерные параболические координаты [ править | править код ]
Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует
τ
=
2
{\displaystyle \scriptstyle {\tau =2}}
, синий параболоид соответствует
σ
=
1
{\displaystyle \scriptstyle {\sigma =1}}
, а жёлтая полуплоскость соответствует
φ
=
−
60
∘
{\displaystyle \scriptstyle {\varphi =-60^{\circ }}}
. Три поверхности пересекаются в точке
P
{\displaystyle \scriptstyle {P}}
(отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно
(
1
,
0
;
−
1,732
;
1
,
5
)
{\displaystyle \scriptstyle {(1{,}0{;}\ -1{,}732{;}\ 1{,}5)}}
.
На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость
X
Y
{\displaystyle XY}
вдоль оси
z
{\displaystyle z}
и называются цилиндрические параболические координаты .
Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии
{
x
=
σ
τ
cos
φ
,
y
=
σ
τ
sin
φ
,
z
=
1
2
(
τ
2
−
σ
2
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}}
Ось параболоидов совпадает с осью
z
{\displaystyle z}
, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол
φ
{\displaystyle \varphi }
определяется как
t
g
φ
=
y
x
.
{\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x}}.}
Поверхности постоянной
σ
{\displaystyle \sigma }
являются конфокальными параболоидами
2
z
=
x
2
+
y
2
σ
2
−
σ
2
{\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}
направленными вверх (вдоль луча
+
z
{\displaystyle +z}
), а поверхности постоянной
τ
{\displaystyle \tau }
— это конфокальные параболоиды
2
z
=
−
x
2
+
y
2
τ
2
+
τ
2
{\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}
направленные вниз (вдоль луча
−
z
{\displaystyle -z}
). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.
Дифференциальные характеристики трёхмерных координат [ править | править код ]
Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:
H
σ
=
σ
2
+
τ
2
,
{\displaystyle H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}
H
τ
=
σ
2
+
τ
2
,
{\displaystyle H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}
H
φ
=
σ
τ
.
{\displaystyle H_{\varphi }=\sigma \tau .}
Как видно, коэффициенты
H
σ
{\displaystyle H_{\sigma }}
и
H
τ
{\displaystyle H_{\tau }}
совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен
d
V
=
h
σ
h
τ
h
φ
=
σ
τ
(
σ
2
+
τ
2
)
d
σ
d
τ
d
φ
,
{\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,}
а лапласиан равен
∇
2
Φ
=
1
σ
2
+
τ
2
[
1
σ
∂
∂
σ
(
σ
∂
Φ
∂
σ
)
+
1
τ
∂
∂
τ
(
τ
∂
Φ
∂
τ
)
]
+
1
σ
2
τ
2
∂
2
Φ
∂
φ
2
.
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}.}
Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.
Символы Кристоффеля второго рода:
Γ
11
1
=
Γ
12
2
=
Γ
21
2
=
−
Γ
22
1
=
σ
σ
2
+
τ
2
,
{\displaystyle \Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}
Γ
22
2
=
Γ
12
1
=
Γ
21
1
=
−
Γ
11
2
=
τ
σ
2
+
τ
2
,
{\displaystyle \Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}
Γ
23
3
=
Γ
32
3
=
1
τ
,
Γ
33
1
=
−
σ
τ
2
σ
2
+
τ
2
,
Γ
33
2
=
−
σ
2
τ
σ
2
+
τ
2
,
Γ
13
3
=
Γ
31
3
=
1
σ
.
{\displaystyle \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau }},\ \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^{2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{\sigma }}.}
Остальные символы равны нулю.
Переход от декартовых координат
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\;y,\;z)}
к параболическим
(
η
,
ξ
,
φ
)
{\displaystyle (\eta ,\;\xi ,\;\varphi )}
осуществляется по формулам:
{
η
=
−
z
+
x
2
+
y
2
+
z
2
,
ξ
=
z
+
x
2
+
y
2
+
z
2
,
φ
=
a
r
c
t
g
y
x
,
{\displaystyle {\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}}
при этом
η
⩾
0
,
ξ
⩾
0.
{\displaystyle \eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.}
|
d
η
d
ξ
d
φ
|
=
|
x
x
2
+
y
2
+
z
2
y
x
2
+
y
2
+
z
2
−
1
+
z
x
2
+
y
2
+
z
2
x
x
2
+
y
2
+
z
2
y
x
2
+
y
2
+
z
2
1
+
z
x
2
+
y
2
+
z
2
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
|
⋅
|
d
x
d
y
d
z
|
.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.}
При
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
получаем ограничение координат на плоскость
X
Z
{\displaystyle XZ}
:
η
=
−
z
+
x
2
+
z
2
,
{\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},}
ξ
=
z
+
x
2
+
z
2
.
{\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.}
Линия уровня
η
=
c
{\displaystyle \eta =c}
:
z
|
η
=
c
=
x
2
2
c
−
c
2
.
{\displaystyle z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.}
Это парабола , фокус которой при любом
c
{\displaystyle c}
расположен в начале координат.
Аналогично при
ξ
=
c
{\displaystyle \xi =c}
получаем
z
|
ξ
=
c
=
c
2
−
x
2
2
c
.
{\displaystyle z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.}
Координатные параболы пересекаются в точке
P
:
(
b
c
,
b
−
c
2
)
.
{\displaystyle P:\left({\sqrt {bc}},\;{\frac {b-c}{2}}\right).}
Пара парабол пересекается в двух точках, но при
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
точка оказывается заключена в полуплоскости
x
>
0
{\displaystyle x>0}
, так как
x
<
0
{\displaystyle x<0}
соответствует
φ
=
π
{\displaystyle \varphi =\pi }
.
Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке
P
{\displaystyle P}
:
d
z
c
d
x
=
x
c
=
b
c
c
=
b
c
=
s
c
,
{\displaystyle {\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c},}
d
z
b
d
x
=
−
x
b
=
−
b
c
b
=
−
c
b
=
s
b
;
{\displaystyle {\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};}
s
c
s
b
=
−
b
c
c
b
=
−
1.
{\displaystyle s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c}}}{\sqrt {\frac {c}{b}}}=-1.}
Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.
Пара
(
ξ
;
η
)
{\displaystyle (\xi ;\;\eta )}
определяет координаты в полуплоскости. При изменении
φ
{\displaystyle \varphi }
от 0 до
2
π
{\displaystyle 2\pi }
полуплоскость вращается вокруг оси
z
{\displaystyle z}
, в качестве координатных поверхностей получаются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина
φ
{\displaystyle \varphi }
определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:
{
x
=
ξ
η
cos
φ
,
y
=
ξ
η
sin
φ
,
z
=
1
2
(
ξ
−
η
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}}
|
d
x
d
y
d
z
|
=
|
1
2
ξ
η
cos
φ
1
2
η
ξ
cos
φ
−
ξ
η
sin
φ
1
2
ξ
η
sin
φ
1
2
η
ξ
sin
φ
ξ
η
cos
φ
−
1
2
1
2
0
|
⋅
|
d
η
d
ξ
d
φ
|
.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.}
Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты
n
{\displaystyle n}
-мерные координатыФизические координаты Связанные определения