Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Связь с декартовыми координатами

Тороидальная система координат $(\alpha ,\beta ,\varphi )$ определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

$x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad y={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}$,

где $c>0$ — масштабный множитель и радиус окружности $x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0$ в которую вырождается тороидальная координатная поверхность $\alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const}$ при $\alpha _{0}\rightarrow \infty$. Пределы изменения координаты $0\leqslant \alpha <\infty$. Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси $x=0,\,y=0$. Две другие координаты являются циклическими с периодом $2\pi$, например можно выбрать $-\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi$

Связь с цилиндрическими координатами

Формулы перехода из тороидальных координат $(\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )$ в цилиндрические координаты $(z,r,\varphi )$:

$r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}.$

Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки $(z,r,\varphi )$ вычисляют значения $R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr}}$ — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности $r=c,\,z=0$, через которые затем выражаются

$\kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\prime }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+}}}$

Альтернативное определение

В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты $(\rho ,\beta ,\varphi )$, такие, что:

$z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta$

(в англоязычной литературе такие координаты называют англ. tubal, а не англ. toroidal). В этом случае циклические координаты $\beta ,\,\varphi$ называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности $r=c,\,z=0$, на которой $\rho =0$. Вблизи магнитной оси координаты $\beta$ для обеих систем приближенно совпадают, а координаты $\rho \equiv R_{-}$ и $u$ связываются между собой соотношением: $2\kappa ^{\prime }(u)\approx \rho /c$. Могут также вводиться криволинейные потоковые координаты, в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных $\alpha$ или $\rho$ „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно.

Свойства

Координатные поверхности

$\alpha =\mathrm {const}$ — торы

$({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({\frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}$,

$\beta =\mathrm {const}$ — сферы

$(z-c\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta }}\right)^{2}$,

$\varphi =\mathrm {const}$ — полуплоскости

${\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}$.

Дифференциальные характеристики

• Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm {sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.$

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

• Квадрат линейного элемента:

$ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})$.

• Квадрат элемента площади:

$dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d\beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \,d\varphi )^{2})$.

• Элемент объёма:

$dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}d\alpha \,d\beta \,d\varphi$.

• Коэффициенты Ламе:

$h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }},\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}$.

• Якобиан:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )}}={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}$.

• Символы Кристоффеля второго рода:

$\Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},$

$\Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},$

$\Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.$

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

• Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

$\operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c}}\left({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta }}{\vec {e}}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }\right).$

• Дивергенция векторного поля:

$\ \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta }}+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \beta )$

• Оператор Лапласа:

$\Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)$

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

$\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=0$

Решение удобно искать в виде:

$u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta }}$,

тогда уравнение для функции $v$:

$v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0$.

После чего можно разделить переменные:

$v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )$.

В результате получится система:

${\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {k_{\varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}$

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
• Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732—733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.

• В. Д. Шафранов. Тороидальные системы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1998. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — 760 с. — ISBN 5-85270-101-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.