Криволинейная система координат

Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Локальные свойства криволинейных координат

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3), снабженное декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

$dS^{2}=\mathbf {dx} ^{2}+\mathbf {dy} ^{2}+\mathbf {dz} ^{2}.$

Общий случай

Криволинейные координаты в трёхмерном аффинном пространстве

Пусть $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$ — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$ служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

$\left\{{\begin{matrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _{2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right),\end{matrix}}\right.$

где $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ — функции, определённые в некоторой области наборов $\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right)$ координат.

Локальный базис и тензорный анализ

В тензорном исчислении можно ввести векторы локального базиса: $\mathbf {R_{j}} ={\frac {d\mathbf {r} }{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}\mathbf {e} _{i}=Q_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}$ , где $\mathbf {e} _{i}$ — орты декартовой системы координат, $Q_{j}^{i}$ — матрица Якоби, $x^{i}$ координаты в декартовой системе, $y^{i}$ — вводимые криволинейные координаты.
Нетрудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:
$\mathbf {R} _{i}=Q_{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$
$\mathbf {e} _{i}=P_{i}^{j}\mathbf {R} _{j}$ где $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$, где Е — единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:
$\mathbf {R} _{i}\mathbf {R} _{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{nm}=g_{ij}$
$\mathbf {R} ^{i}\mathbf {R} ^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{nm}=g^{ij}$
$g_{ij}g^{jk}=g^{jk}g_{ij}=d_{i}^{k}$, где $d_{ij},d^{ij},d_{j}^{i}$ контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора $\mathbf {T}$ ранга n можно разложить по локальному полиадному базису:
$\mathbf {T} =T^{i_{1}...i_{n}}\mathbf {e} _{i}\otimes ...\otimes \mathbf {e} _{n}=T^{i_{1}...i_{n}}P_{i_{1}}^{j_{1}}...P_{i_{n}}^{j_{n}}\mathbf {R} _{j_{1}}\otimes ...\otimes \mathbf {R} _{j_{n}}$
Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :
$\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}=v^{i}P_{i}^{j}\mathbf {R} _{j}$

Ортогональные криволинейные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в $\mathbb {R} ^{3}$

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

$dS^{2}=\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\mathbf {dq} _{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\mathbf {dq} _{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}\mathbf {dq} _{i}\right)^{2},~i=1,2,3$

Принимая во внимание ортогональность систем координат ($\mathbf {dq} _{i}\cdot \mathbf {dq} _{j}=0$ при $i\neq j$) это выражение можно переписать в виде

$dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{3}^{2},$

где

$H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3$

Положительные величины $H_{i}\$, зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах ${q_{i}}$, представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

$g_{ii}={H_{i}}^{2}$ $g_{ij}=0$ для i≠j

, то есть

$g_{ij}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2}\end{pmatrix}}$

Примеры

Полярные координаты (n=2)

Основная статья: Полярные координаты

Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

$\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\end{matrix}}\right.$

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{matrix}}$

Дифференциал дуги:

$dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.$

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в обозначенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.

Цилиндрические координаты (n=3)

Основная статья: Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:

${\begin{cases}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi };\\&z=z.\end{cases}}$

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix}}$

Дифференциал дуги:

$dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.$

Сферические координаты (n=3)

Основная статья: Сферические координаты

Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:

$\left\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi };\\y=r\sin {\theta }\sin {\varphi };\\z=r\cos {\theta }.\end{matrix}}\right.$

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matrix}}$

Дифференциал дуги:

$dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2}.$

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщения

Ортогональные:

• Эллиптические координаты — расширяются до 3 измерений
• Параболические координаты — расширяются до 3 измерений
• Биполярные координаты — расширяются до 3 измерений
• …

Прочие:

• Бицентрические координаты
• Биангулярные координаты
• Координаты Риндлера

…

Криволинейные координаты с точки зрения дифференциальной геометрии

Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.