Эллиптическая система координат

Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$ обычно берутся точки $-c$ и $+c$ на оси $X$ декартовой системы координат.

Основное определение

Эллиптические координаты $(\mu ,\;\nu )$ обычно определяются по правилу:

$\left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \nu \end{matrix}}\right.$

где $\mu \geqslant 0$, $\nu \in [0,\;2\pi )$.

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

${\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

показывает, что линии уровня $\mu$ являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

${\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1$

показывает, что линии уровня $\nu$ являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат $(\mu ,\;\nu )$ равны

$H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.$

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

$H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}).$

Элемент площади равен:

$dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,$

а лапласиан равен

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).$

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля $\Phi (\mu ,\;\nu )$ записывается:

$\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\mathbf {e} _{\mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu },$

где

$\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )$,

$\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )$.

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат $(\sigma ,\;\tau )$:

$\left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.$

Таким образом, линии уровня $\sigma$ являются эллипсами, а линии уровня $\tau$ являются гиперболами. При этом

$\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.$

Координаты $(\sigma ,\;\tau )$ имеют простую связь с расстояниями до фокусов $F_{1}$ и $F_{2}$. Для любой точки на плоскости

$\left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.$

где $d_{1},\;d_{2}$ — расстояния до фокусов $F_{1},\;F_{2}$ соответственно.

Таким образом:

$\left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.$

Напомним, что $F_{1}$ и $F_{2}$ находятся в точках $x=-c$ и $x=+c$ соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

$\left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})\end{matrix}}\right.$

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат $(\sigma ,\;\tau )$ равны:

$h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}};$

$h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.$

Элемент площади равен

$dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}}\,d\sigma \,d\tau ,$

а лапласиан равен

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].$

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

См. также

• Окружность Аполлония