Теорема Минковского о многогранниках

Теорема Минковского о многогранниках — общее название двух теорем о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями и площадями граней.

Теорема единственности Минковского: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) площади соответствующих граней одинаковы, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Несложно доказать, что если ${\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}$ — единичные векторы внешних нормалей к граням выпуклого многогранника и $S_{1},\dots ,S_{k}$ — площади соответствующих граней, то $S_{1}{\mathbf {n} }_{1}+\ldots +S_{k}{\mathbf {n} }_{k}={\mathbf {0} }$. Следующая теорема показывает, что указанное условие является единственным, связывающим площади граней и нормали к ним:

Теорема существования Минковского: Если ${\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}$ — произвольные единичные векторы, не все направленные в одно полупространство, и $S_{1},\dots ,S_{k}$ — произвольные положительные числа, причём $S_{1}{\mathbf {n} }_{1}+\ldots +S_{k}{\mathbf {n} }_{k}={\mathbf {0} }$, то существует выпуклый многогранник, для которого векторы ${\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}$ (и только они) являются векторами внешних единичных нормалей к граням, а числа $S_{1},\dots ,S_{k}$ являются площадями граней.

Комментарии

• Обе теоремы доказаны Германом Минковским в 1897 году. Они понадобились ему для создания математических основ кристаллографии.
• Обе теоремы Минковского верны во всех евклидовых пространствах размерности 2 и выше.
• Теоремы обобщаются на случай произвольных выпуклых поверхностей, см. Задача Минковского
• При некоторых ограничениях подобные теоремы верны и для невыпуклых многогранников.
• В трёхмерном пространстве обобщением теоремы единственности Минковского служит теорема Александрова о выпуклых многогранниках, утверждающая, что «Если у двух выпуклых многогранников все пары параллельных граней таковы, что ни одну грань нельзя поместить внутри другой параллельным перенесением, то такие многогранники равны и параллельно расположены».
• Одним из следствий является теорема Александрова — Шепарда — Макмюллена о том, что выпуклый многогранник с центрально-симметричными гранями сам является центрально-симметричным.