L-система

L-системы деревьев образуют реальные модели натуральных растений

L-система или система Линденмайера — это параллельная система переписывания и вид формальной грамматики. L-система состоит из алфавита символов, которые могут быть использованы для создания строк, набора порождающих правил, которые задают правила подстановки вместо каждого символа, начальной строки («аксиомы»), с которой начинается построение, и механизма перевода образованной строки в геометрические структуры. L-системы предложил и развивал в 1968 Аристид Линденмайер, венгерский биолог и ботаник из Утрехтского университета. Линденмайер использовал L-системы для описания поведения клеток растений и моделирования процесса развития растения. L-системы использовались также для моделирования морфологии различных организмов и могут быть использованы для генерации самоподобных фракталов, таких как системы итерируемых функций.

Истоки

«Сорняки», сгенерированные с помощью L-системы в 3D.

В качестве биолога Линденмайер работал с дрожжами и нитевидными грибами и изучал схемы роста различных видов водорослей, таких как синезелёные водоросли Anabaena catenula. Первоначально L-системы были разработаны для формального описания развития таких простых многоклеточных организмов и для иллюстрации связи между соседними клетками растения. Позже система была расширена для описания высших растений и сложных ветвящихся структур.

Структура L-системы

Рекурсивная природа правил L-системы приводит к самоподобию и потому подобные фракталам формы легко описываются с помощью L-системы. Модели растений и выглядящие естественно органические формы легко сформировать, так как при увеличении уровня рекурсии модель медленно «растёт» и становится более сложной. Системы Линденмайера популярны также в генерации искусственной жизни.

Грамматики L-систем очень похожи на полусистемы Туэ (см. «Иерархия Хомского»). L-системы теперь известны как параметрические L системы, которые определяются как кортеж

G = (V, ω, P),

где

• V (алфавит) — это множество символов, содержащих как элементы, которые могут быть заменены (переменные), так и элементы, которые не могут быть заменены ("константы" или "терминальные символы")
• ω (старт, аксиома или инициатор) — это строка символов из V, определяющая начальное состояние системы
• P — это множество порождающих правил, определяющих, каким образом переменные могут быть заменены комбинациями констант и других переменных. Порождающее правило состоит из двух строк, прототип и преемник. Для любого символа A, входящего в алфавит V, не входящего в левую часть правил P, предполагается правило вывода A → A. Эти символы называются константами или терминальными символами. (см. «Закон тождества»).

Правила грамматики L-системы применяются итеративно, начиная с аксиомы (начального состояния). На итерации применяется как можно больше правил. Факт, что на каждой итерации применяется как можно больше правил, отделяет L-систему от формального языка генерируемого по формальной грамматике, которая применяет только одно правило на итерацию. Если бы правила вывода применялись по одному, легко было бы сгенерировать язык, а не L-систему. Таким образом, L-системы являются подмножеством языков.

L-система является контекстно-свободной, если каждое правило вывода ссылается только на индивидуальные символы, а не на их соседей. Контекстно-свободные L-системы определяются контекстно-свободной грамматикой. Если правило зависит не только от единичного символа, но и от соседних, система называется контекстно-зависимой L-системой.

Если существует в точности одно правило для каждого символа, говорят, что L-система детерминированная (детерминированная контекстно-независимая L-система называется D0L системой). Если имеется несколько правил и каждая выбирается с некоторой вероятностью на каждой итерации, то это стохастическая L-система.

Чтобы использовать L-системы для генерации графических образов, требуется, чтобы символы в модели относились к элементам рисунка на экране компьютера. Например, программа Fractint использует черепашью графику (похожую на графику в языке Лого) для получения изображения на экране. Программа интерпретирует каждую константу в модели L-системы как команды системы черепашьей графики.

Примеры L-систем

Пример 1: Водоросли

Оригинальная L-система Линденмайера для моделирования роста водорослей.

переменные : A B

константы : нет

аксиома  : A

правила  : (A → AB), (B → A)

Система даёт

n = 0 : A

n = 1 : AB

n = 2 : ABA

n = 3 : ABAAB

n = 4 : ABAABABA

n = 5 : ABAABABAABAAB

n = 6 : ABAABABAABAABABAABABA

n = 7 : ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

Пример 1: Водоросли, объяснение

n=0:         A           старт (аксиома/инициатор)
            / \
n=1:       A   B         начальная единственная A превращается в AB по правилу (A → AB), правило (B → A) не может быть применено
          /|    \
n=2:     A B     A       к строке AB применяются все правила, A снова превращается в AB, а B превращается A
        /| |     |\
n=3:   A B A     A B     заметьте, что все A переводятся в копию себя и добавляется B, которая превращается ...
      /| | |\    |\ \
n=4: A B A A B   A B A   ... в A в следующем поколении, что приводит к рекурсии

Результатом будут слова Фибоначчи. Если посчитать длину каждой строки, получим знаменитую последовательность Фибоначчи (опуская первую 1):

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

Для каждой строки, если мы отсчитаем k-ю позицию с левого конца строки, значение зависит от того, попадает ли k, умноженное на золотое сечение, в интервал $(k,k+1)$. Отношение вхождений букв A к B также сходится к золотому сечению.

Этот пример даёт тот же результат (в смысле длины строк, не в смысле последовательности букв A и B), если правило (A → AB) заменить на (A → BA), но при этом получим зеркально отражённые строки.

Эта последовательность является катенантной, поскольку $G(n)=G(n-1)G(n-2)$, где $G(n)$ является n-м поколением.

Пример 2: Дерево Пифагора

• переменные: 0, 1
• константы: [, ]
• аксиома: 0
• правила: (1 → 11), (0 → 1[0]0)

Фигура строится рекурсивным применением правил вывода к аксиоме. Каждый символ входной строки проверяется в списке правил, чтобы определить, на что следует заменить символ. В этом примере «1» на входе превращается в «11» на выходе, а «[» не меняется. Применяя правила вывода к аксиоме «0», получим:

аксиома:	0 - нуль
1-я рекурсия:	1[0]0
2-я рекурсия:	11[1[0]0]1[0]0
3-я рекурсия:	1111[11[1[0]0]1[0]0]11[1[0]0]1[0]0
…

Мы видим, что строки быстро растут в длине и сложности. Строку можно нарисовать в виде рисунка с помощью черепашьей графики, где каждому символу соответствует графическая операция для черепахи. В данном примере черепахе могут быть даны следующие команды:

• 0: рисуем отрезок, кончающийся листом
• 1: рисуем отрезок
• [: кладем в стек положение и угол рисования, поворачиваем влево на 45 градусов
• ]: считываем из стека положение и угол, поворачиваем вправо на 45 градусов

«Положим в стек» и «выберем из стека» относится к LIFO-стеку (более подробная грамматика потребовала бы разделить на «положим в стек» и «повернём»). Когда интерпретатор встречает «[», текущее положение черепахи и угол движения сохраняются в стеке, когда же встречается «]», положение и угол восстанавливаются. Если несколько значений заносятся в стек, восстанавливается последнее занесённое значение. В литературе L-системы, использующие такой подход к ветвлению, называют «bracketed L-systems» (скобочные L-системы).

Применяя эти графические правила к полученной ранее строке, мы имеем:

• 
  Аксиома
• 
  Первая рекурсия
• 
  Вторая рекурсия
• 
  Третья рекурсия
• 
  Четвёртая рекурсия
• 
  Седьмая рекурсия, уменьшенная в десять раз

Пример 3: Множество Кантора

переменные: A B

константы: нет

старт: A {стартовая строка}

правила: (A → ABA), (B → BBB)

Пусть A означает «рисуем отрезок», а B означает «движемся».

Такая грамматика порождает знаменитое канторово фрактальное множество на вещественной оси R.

Пример 4: Кривая Коха

Вариант кривой Коха, использующей только прямые углы.

переменные : F

константы : + −

старт  : F

правила  : (F → F+F−F−F+F)

Здесь F означает «рисуем отрезок», + означает «повернуть влево на 90°», а − означает «повернуть вправо на 90°» (см. «Черепашья графика»).

n = 0:

F

n = 1:

F+F−F−F+F

n = 2:

F+F−F−F+F + F+F−F−F+F − F+F−F−F+F − F+F−F−F+F + F+F−F−F+F

n = 3:

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F +

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F −

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F −

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F +

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F

Пример 5: Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского, нарисованный с помощью L-системы.

переменные: F G

константы: + −

старт: F−G−G

правило: (F → F−G+F+G−F), (G → GG)

угол: 120°

Здесь F и G означают «рисуем отрезок», + означает «повернуть вправо на угол», а − означает «повернуть влево на угол».

• 
  n = 2
• 
  n = 4
• 
  n = 6

Можно также аппроксимировать треугольник Серпинского, используя L-систему создания стреловидной кривой Серпинского.

переменные: A B

константы: + −

старт: A

правила: (A → B−A−B), (B → A+B+A)

угол: 60°

Здесь A и B означают «рисуем отрезок», + означает «повернуть влево на угол», а − означает «повернуть вправо на угол» (см. «Черепашья графика»).

Итерации для n = 2, n = 4, n = 6, n = 8

Пример 6: Кривая дракона

Кривая дракона, нарисованная с помощью L-системы.

переменные : X Y

константы : F + −

старт  : FX

правила  : (X → X+YF+), (Y → −FX−Y)

угол  : 90°

Здесь F означает «рисуем отрезок», − означает «повернуть влево на 90°», а + означает «повернуть вправо на 90°». X и Y не соответствуют какому-либо действию при рисовании, а используются только для построения кривой.

• 
• 

Итерации для n = 10, n = 15

Пример 7: Фрактальное растение

переменные : X F

константы : + − [ ]

старт  : X

правила  : (X → F−[[X]+X]+F[+FX]−X), (F → FF)

угол  : 25°

Здесь F означает «рисуем отрезок», − означает «повернуть влево на 25°», а + означает «повернуть вправо на 25°». X не соответствует какому-либо действию при рисовании и используется только для построения кривой. Квадратная скобка «[» соответствует сохранению текущих значений позиции и угла, которые восстанавливаются, когда выполняется соответствующий символ «]».

Фрактальное растение для n = 6

Варианты

Было сделано несколько разработок на основе техники L-систем, которые могут быть использованы совместно. Среди них cтохастические грамматики, контекстно-зависимые грамматики и параметрические грамматики.

Стохастические грамматики

Модели грамматик, которые мы сейчас рассматривали, являются детерминированными. То есть, если дан какой-либо символ из алфавита, имеется в точности одно правило, которое всегда выбирается и всегда выполняется одна и та же подстановка. Альтернативой является указание более одного правила вывода для символа, задав для каждого правила вероятность выполнения. Например, в грамматике примера 2 мы можем заменить правило переписывания «0» с

0 → 1[0]0

на вероятностное правило

0 (0.5) → 1[0]0

0 (0.5) → 0

При этих правилах вывода, когда встречается «0» во входной строке, с вероятностью 50 % поведение будет таким же, как и раньше, а с вероятностью 50 % ничего не меняется. Если используется стохастическая грамматика в контексте эволюции, рекомендуется инкорпорировать генератор случайности в генотип, так что стохастические свойства рисунка остаются постоянными между поколениями.

Контекстно-зависимые грамматики

Контекстно-зависимое правило вывода просматривает не только символы, которые он изменяет, но и символы предшествующие им и следующие за ними. Например, правило вывода:

b < a > c → aa

преобразует "a" в "aa", но только если "a" окажется между "b" и "c" во входной строке:

…bac…

Как и в случае случайного вывода, имеется несколько правил для обработки символы в различных контекстах. Если никакое порождающее правило не найдено для указанного контекста, предполагается тождественное преобразование, и символ не меняется. Если имеются как контекстно-независимые, так и зависимые правила вывода в той же грамматике, контекстно-зависимое правило вывода имеет преимущество (если его можно применить).

Параметрические грамматики

В параметрической грамматике каждый символ в алфавите имеет список параметров, ассоциированный с символом. Символ вместе с параметрами называется модулем и строка в параметрической грамматике — это последовательность модулей. Примером может служить следующая строка:

a(0,1)[b(0,0)]a(1,2)

Параметры могут быть использованы как функцией рисования, так и правилами вывода. Правила вывода могут использовать параметры двумя путями. В первом случае параметр используется в условном выражении, определяющем, следует ли применять правило вывода. Во втором случае правило вывода может подменять фактические параметры. Например, правило вывода:

a(x,y) : x == 0 → a(1, y+1)b(2,3)

Модуль a(x,y) испытывает преобразование по этому правилу, если выполняется x=0. Например, a(0,2) претерпит преобразование, а a(1,2) — нет.

На правой стороне правила вывода (в преемнике) могут быть подвергнуты преобразованию как параметры, так и целые модули. В примере выше модуль b(x,y) добавляется к строке с начальными параметрами (2,3). Параметры же уже существующего модуля преобразуются. При описанных выше правилах вывода,

a(0,2)

Становится

a(1,3)b(2,3)

так как параметр «x» модуля a(x,y) явно преобразуется в «1», а параметр «y» увеличивается на единицу.

Параметрические грамматики позволяют длину отрезка и угол ответвления задать в грамматике, а не в методах интерпретации черепашьей графики. Если возраст также задаётся параметром для модуля, правила могут быть изменены в зависимости от возраста сегмента растения, что позволяет создавать анимацию всего жизненного цикла дерева.

Другие категории L-систем

• D0L-системы = детерминированные контекстно-свободные системы (см. выше)
• Размножающиеся L-системы («Propagative L-systems», «pL-systems») — это системы, в которых хотя бы одно правило имеет в правой части (в выводе) по меньшей мере две буквы. Неразмножающиеся системы имеют в правой части только один символ. Длина слова в этом случае не меняется.
• Скобочные L-системы (см. Пример 2)
• 0L-системы, 1L-системы, 2L-системы (IL-системы, известные также как (k,l)-системы).
• Табличные L-системы ( «T0L-системы») — это системы, работающие с несколькими наборами правил. Для выбора набора правил используется внешний механизм контроля. Табличные L-системы были введены и формализованы Розенбергом в 1975 для моделирования влияния среды на рост растений .

Открытые проблемы

Имеется много открытых проблем, связанных с изучением L-систем. Например:

• Описание всех детерминированных контекстно-свободных локально катентативных L-систем. (Полное решение известно только для случая трёх переменных) .
• Если задана структура, найти L-систему, которая может воспроизвести эту структуру.
• Если даны две pL-системы и функция интерполяции, будут ли результирующие рисунки конгруэнтны ?
• Если дана pL-система и функция интерпретации, будет ли результирующая кривая замкнутой? Будет ли она самопересекающейся или древовидной? Будут ли некоторые отрезки нарисованы более одного раза??

Ответы на эти вопросы интересны не только с теоретической точки зрения, они полезны также при построении pL-систем для создания рисунков с заданными свойствами.

Типы L-систем

L-системы на вещественной оси R:

• Последовательность Морса — Туэ

Общеизвестные L-системы на плоскости R²:

• Заполняющие пространство кривые (Кривая Гильберта, Кривая Пеано, Церковь Декинга, Колам),
• медианные заполняющие пространство кривые (Кривая Леви, Дракон Хартера — Хейтуэя, Дракон Дэвиса-Кнута),
• мозаики (Мозаика «Сфинкс», Мозаика Пенроуза),
• деревья, растения, и тому подобное.

См. также

• Цифровой морфогенез
• Фрактал
• Система итерируемых функций
• Кривая Гильберта
• Стохастическая контекстно-свободная грамматика
• SpeedTree

Литература

• Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa. The mathematical theory of L systems. — New York: Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-597140-0.
• Przemysław Prusinkiewicz, Aristid Lindenmayer. The Algorithmic Beauty of Plants. — Springer, 2004.
• Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa. Lindenmayer Systems: Impacts on Theoretical Computer Science, Computer Graphics, and Developmental Biology. — Springer-Verlag,, 1992. — ISBN 978-3-540-55320-5.
• D.S. Ebert, F.K. Musgrave, D. Peachey, K. Perlin. Texturing and Modeling: A Procedural Approach. — Academic Press, 1994. — ISBN 0-12-228730-4.
• Burry, Jane, Burry Mark. The New Mathematics of Architecture. — New York: Thames and Hudson, 2010.
• Aristid Lindenmayer. Mathematical models for cellular interaction in development // J. Theoret. Biology. — 1968. — Вып. 18. — С. 280—315.
• P. Prusinkiewicz. Proceedings of Graphics Interface '86 / Vision Interface '86. — 1986. — С. 247−253..
• Handbook of Formal Languages / G.Rozenberg, A.Salomaa. — Springer, 1997. — Т. 1(Word, Language, Grammar). — С. 253-328. — ISBN 978-3-642-63863-3.
• Stelios Manousakis. Musical L-Systems. — The Hague: The Royal Conservatory, 2006. — (Master’s Thesis – Sonology).

Ссылки

• Algorithmic Botany at the University of Calgary
• Branching: L-system Tree　Java-апплет и исходный код (открытый код) моделирования роста ботанических деревьев с использованием L-системы.
• Fractint L-System True Fractals
• "powerPlant", система моделирования ландшафта (с открытым кодом)
• Fractint home page
• Простой генератор L-систем (Windows)
• Lyndyhop: другой Простой генератор L-систем (Windows & Mac)
• An evolutionary L-systems generator (anyos*)
• eXtended L-Systems (XL), Relational Growth Grammars, программная система с открытым кодом, GroIMP.
• Java-апплет с множеством фрактальных рисунков, сгенерированных L-системами. Архивная копия от 6 августа 2016 на Wayback Machine
• My Graphics – приложение для iPhone/iPad, генерирующее некоторые рисунки на основе L-систем.
• Онлайновое экспериментирование с L-системами, используя JSXGraph (JavaScript)
• Flea Имплементация на языке Ruby LSYSTEM
• Lindenmayer power Генератор растений и фракталов на основе L-систем (JavaScript)
• Rozenberg, G.; Salomaa, A. (2001), "L-systems", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Laurens Lapré's L-Parser Архивная копия от 13 сентября 2013 на Wayback Machine
• HTML5 L-Systems – эксперименты онлайн
• The vector-graphics program Использующий Inkscape парсер L-системы
• Сложност L-системы (недоступная ссылка)
• Имплементация парсера L-системы и простая черепашья графика на языке программирования Icon
• Генератор систем Линденмайера от Нолана Каррола
• Bloogen: L-Systems