Ковёр Серпинского
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.[1]
Построение[править | править код]
Итеративный метод[править | править код]
Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество , состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
пересечение членов которой есть ковер Серпинского.
Метод хаоса[править | править код]
- 1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата .
- 2. Вероятностное пространство разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- 3. Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри квадрата .
- 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.
- 1. Генерируется случайное число .
- 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- 3. Строится точка с новыми координатами: ,
- где: — координаты предыдущей точки ; — координаты активной точки-аттрактора.
- 5. Возврат к началу цикла.
Свойства[править | править код]
- Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
- Ковер Серпинского замкнут.
- Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность . В частности,
- имеет нулевую меру Лебега.
- Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. - [1]Архивная копия от 24 августа 2021 на Wayback Machine
Ссылки[править | править код]
- Медиафайлы по теме Ковёр Серпинского на Викискладе
- Variations on the Theme of Tremas II (англ.)
- Печенье Серпинского (англ.)
- Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld