Параболическая система координат

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты $(\sigma ,\;\tau )$ определяются выражениями

$\left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end{matrix}}\right.$

Поверхности постоянной $\sigma$ являются конфокальными параболами

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

расширяющимися вверх (вдоль луча $+y$), а поверхности постоянной $\tau$ — это конфокальные параболы

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

расширяющиеся вниз (вдоль луча $-y$). Фокусы всех парабол расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

$H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}.$

Таким образом, элемент площади равен

$dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,$

а лапласиан равен

$\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).$

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует $\scriptstyle {\tau =2}$, синий параболоид соответствует $\scriptstyle {\sigma =1}$, а жёлтая полуплоскость соответствует $\scriptstyle {\varphi =-60^{\circ }}$. Три поверхности пересекаются в точке $\scriptstyle {P}$ (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно $\scriptstyle {(1{,}0{;}\ -1{,}732{;}\ 1{,}5)}$.

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость $XY$ вдоль оси $z$ и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

${\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}$

Ось параболоидов совпадает с осью $z$, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол $\varphi$ определяется как

$\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x}}.$

Поверхности постоянной $\sigma$ являются конфокальными параболоидами

$2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

направленными вверх (вдоль луча $+z$), а поверхности постоянной $\tau$ — это конфокальные параболоиды

$2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

направленные вниз (вдоль луча $-z$). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

$H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},$

$H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},$

$H_{\varphi }=\sigma \tau .$

Как видно, коэффициенты $H_{\sigma }$ и $H_{\tau }$ совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,$

а лапласиан равен

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}.$

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Символы Кристоффеля второго рода:

$\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},$

$\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},$

$\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau }},\ \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^{2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{\sigma }}.$

Остальные символы равны нулю.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат $(x,\;y,\;z)$ к параболическим $(\eta ,\;\xi ,\;\varphi )$ осуществляется по формулам:

${\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}$

при этом $\eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.$

${\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.$

При $\varphi =0$ получаем ограничение координат на плоскость $XZ$:

$\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},$

$\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.$

Линия уровня $\eta =c$:

$z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.$

Это парабола, фокус которой при любом $c$ расположен в начале координат.

Аналогично при $\xi =c$ получаем

$z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.$

Координатные параболы пересекаются в точке

$P:\left({\sqrt {bc}},\;{\frac {b-c}{2}}\right).$

Пара парабол пересекается в двух точках, но при $\varphi =0$ точка оказывается заключена в полуплоскости $x>0$, так как $x<0$ соответствует $\varphi =\pi$.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке $P$:

${\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c},$

${\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};$

$s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c}}}{\sqrt {\frac {c}{b}}}=-1.$

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара $(\xi ;\;\eta )$ определяет координаты в полуплоскости. При изменении $\varphi$ от 0 до $2\pi$ полуплоскость вращается вокруг оси $z$, в качестве координатных поверхностей получаются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина $\varphi$ определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

${\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}$

${\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.$

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.