Десятиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Правильный десятиугольник
Сторон и вершин 10
Символ Шлефли {10}
Внутренний угол 144°
Симметрия Диэдрическая (), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник[править | править код]

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

Альтернативная формула , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

и может быть представлен в радикалах как

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна , где - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

а радиус вписанной окружности

Построение[править | править код]

Построение правильного десятиугольника.[1]

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:

  1. Построить сначала правильный пятиугольник.
  2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
  3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника[править | править код]

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный -угольник (в общем случае - -угольный зоногон) можно разбить на ромбов. Для декагона , так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник[править | править код]

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }

Пятиугольная антипризма

Пентаграммная антипризма

Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D5d [2+,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр Икосаэдр Икосододекаэдр Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри[править | править код]

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9 D6 B5
9-симплекс 411 131 5-ортоплекс 5-куб

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]