Производная Ли тензорного поля
по направлению векторного поля
— главная линейная часть приращения тензорного поля
при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем
.
Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.
Обычно обозначается
.
Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами.
Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.
- Производная Ли
от скалярного поля
есть производная
по направлению
.

- Производная Ли
от векторного поля
есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля
по направлению поля
).
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c1414ead461a5629b96daa6359093d67abcba6)
- Для произвольных векторных полей и 1-формы
выполняется равенство (тождество Картана)

- (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется

(линейность)
Пусть
—
-мерное гладкое многообразие и
— векторное поле на
.
Рассмотрим поток
по
, определяемый соотношениями
.
Обратное отображение к дифференциалу
,

однозначно продолжается до гомоморфизма
алгебры тензоров над
в алгебру тензоров над
.
Таким образом, произвольное тензорное поле
определяет однопараметрическое семейство полей
.
Производная Ли может быть определена как


где
— скаляр.

где
— вектор, а
— его компоненты.

где
— 1-форма, а
— её компоненты.

где
— метрический тензор, а
— его компоненты.
Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере[править | править код]
Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере
, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:
,
где
и введены следующие обозначения:
,
— объект неголономности.
-линейно по
и по
. Здесь
— произвольное тензорное поле.
- Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
- На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
- Пусть
и
— векторные поля на многообразии, тогда
есть дифференцирование алгебры
, поэтому существует векторное поле
, для которого
. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
- Формула гомотопии (тождество Картана):

- Здесь
— дифференциальная
-форма,
— оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как
.
- Как следствие,

. Здесь
— гладкое сечение (естественного) векторного расслоения
(например, любое тензорное поле),
— поднятие векторного поля
на
,
— оператор вертикального проектирования на
. (См. далее)
Пусть векторное поле
есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства
в каждый момент времени
определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля
переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей
из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.
Пусть
— естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними:
. Произвольное векторное поле
порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов
, продолжающуюся с помощью
на пространство расслоения
, то есть
. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле
, являющееся продолжением
. Группа
также позволяет определить производную Ли по
от произвольных сечений
по такой же формуле, как и в классическом случае:


Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения
, то есть ядра отображения
, так как
. Если
— векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм
. Оператор вертикального проектирования
позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид
, где
— тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования
определяется по формуле

Здесь
— операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме
определяется через суперкоммутатор операторов:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5487d20a10012922c3632d13332ff85d4ae42b2)
Её значение определяется тем, что любое дифференцирование
супералгебры
однозначно представимо в виде
, где
,
— некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле
можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.