Ротор (дифференциальный оператор)

Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается разными способами:

• $\operatorname {rot}$ (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
• $\operatorname {curl}$ (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
• $\mathbf {\nabla } \times$ — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля $\mathbf {F}$ результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$.

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле $\mathbf {F}$ называется ротором поля $\mathbf {F}$ или просто ротором $\mathbf {F}$ и представляет собой новое векторное поле:

$\operatorname {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Поле $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ (длина и направление вектора $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля $\mathbf {F}$ в соответствующих точках.

Определение

Ротор $\operatorname {rot} \mathbf {a}$ векторного поля $\mathbf {a}$ — есть вектор, проекция которого $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ на каждое направление $\mathbf {n}$ есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру $L$, являющемуся краем плоской площадки $\Delta S$, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

$\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}$.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении $\mathbf {n}$, контур $L$ обходился по часовой стрелке.

Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

$\operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}$,

что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.

Иногда можно встретиться с таким альтернативным определением

$\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[d\mathbf {S} \times \mathbf {a} ]}{V}}$,

где $O$ — точка, в которой определяется ротор поля $\mathbf {a}$,

$S$ — какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку $O$ внутри и в пределе стягивающаяся к ней,

$d\mathbf {S}$ — вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,

знаком $\times$ обозначено векторное произведение,

$V$ — объём внутри поверхности $S$.

Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ

Если $\mathbf {v} (x,y,z)$ — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то $\operatorname {rot} \mathbf {v}$ — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$, где ${\boldsymbol {\omega }}$ — эта угловая скорость.

• Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию, данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь $\mathbf {F}$ — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами $(F_{x},F_{y},F_{z})$, а $\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$ — орты декартовых координат):

$\operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})={}$

$=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv$

$\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}$,

или

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}$

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}$

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}$

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

$\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\\partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$

(последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Формула ротора в криволинейных координатах

Основная статья: Оператор набла в различных системах координат

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

$(\operatorname {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k}$,

где $\varepsilon _{ijk}$ — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель ${\sqrt {g}}$, $g^{jm}$ — метрический тензор в представлении с верхними индексами, $g\equiv \det(g_{rs})$, а $\nabla _{m}v^{k}$ — ковариантные производные от контравариантных координат вектора $\mathbf {v}$.

Это выражение может быть также переписано в виде:

$(\operatorname {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k}$.

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=$

${}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +$

${}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +$

${}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}$

${}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1})&\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1}}}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2}}}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3}}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}$,

где $H_{i}$ — коэффициенты Ламе.

Обобщения

• Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}$

Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла:

$\operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}$

• Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).

• Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами $x$ и $y$) введена структура комплексного пространства (с координатой $z=x+iy$) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции $f(z)$, тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной

${\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{\frac {\partial {}}{\partial y}}\right)$

ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:

$\operatorname {rot} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z}}$,

$\operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z}}$.

Основные свойства

• Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей $\mathbf {F}$ и $\mathbf {G}$ и для любых чисел (констант) $a$ и $b$

$\operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {rot} \mathbf {F} +b\operatorname {rot} \mathbf {G}$.

• Если $\varphi$ — скалярное поле (функция), а $\mathbf {F}$ — векторное, тогда:

$\operatorname {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F}$,

$\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )$.

• Если поле $\mathbf {F}$ потенциально, его ротор равен нулю (поле $\mathbf {F}$ — безвихревое):

$\mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \implies \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$.

• Обратное верно локально: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле $\varphi$, что $\mathbf {F}$ будет его градиентом):

$\operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi$

Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).

• Дивергенция ротора равна нулю (поле ротора бездивергентно):

$\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0$,

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0$.

• Обратное свойство также выполняется локально — если поле $\mathbf {F}$ бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля $\mathbf {G}$, называемого его векторным потенциалом:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatorname {rot} \mathbf {G}$.

• Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatorname {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {G}$

Таким образом, если $F$ и $G$ — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если $\mathbf {F} =\nabla f$, а $\mathbf {G} =\nabla g$, легко найти векторный потенциал для $\mathbf {F} \times \mathbf {G}$:

$\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatorname {rot} (f\nabla g)$.

Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.

• Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

$\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}$.

• Ротор векторного произведения полей равен:

$\operatorname {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}$.

Физическая интерпретация

При движении сплошной среды распределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши — Гельмгольца:

$\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\mathbf {r} )$,

где ${\boldsymbol {\omega }}$ — вектор углового вращения элемента среды в точке $O$, а $\varphi$ — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки $O$ складывается из поступательного движения (вектор $\mathbf {v} _{O}$), вращательного движения (вектор ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$) и потенциального движения — деформации (вектор $\nabla \varphi$). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке $O$ справедливо равенство $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$, и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Формула Кельвина — Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \mathbf {dS}$

Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.

Примеры

• В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение $\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}.$

Простой пример

Рассмотрим векторное поле $\mathbf {F}$, зависящее от координат $x$ и $y$ так:

$\mathbf {F} (x,y)=y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y}$.

• В отношении этого примера нетрудно заметить, что $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$, где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор, а ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$, то есть поле $\mathbf {F}$ можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси $z$ (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси $z$). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
• $z$-компоненту поля $\mathbf {F}$ будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от $z$) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]\mathbf {e} _{z}=-2\mathbf {e} _{z}$

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси $z$. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$ оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

• угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно $\operatorname {rot} \mathbf {F} /2$, точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора $\mathbf {F}$ поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/wiki4.ru/v1/»:): {\displaystyle \mathbf F(x,y)=-x^2 \mathbf e_y} .

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке $x=4$, чем в точке $x=3$. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении $-z$. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении $+z$. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}$

Действительно, ввинчивание происходит в направлении $+z$ для отрицательных $x$ и $-z$ для положительных $x$, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор $\mathbf {F}$ с плоскостью $x=0$, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от $y$ или $z$ (как и должно быть) и направлен по $-z$ для положительных $x$ и в направлении $+z$ для отрицательных $x$.

Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значение см. ниже).
• Для векторного поля $\mathbf {v}$ скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, $\operatorname {rot} \mathbf {v}$ одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
• Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Важный контринтуитивный пример

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривления векторных линий векторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости $\mathbf {v}$ определено формулой:

$\mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x}$,

$\operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z}$.

Если $f'(y)>0$, течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси $z$ — против часовой стрелки), однако если $f'(y)<0$ и $f(y)$ — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый её маленький объём — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

См. также

• Ротор векторного поля. Теорема Стокса. на YouTube
• Вычисление ротора векторного поля. на YouTube
• Векторный анализ
• Теорема Грина
• Формулы векторного анализа