Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом
. Функции
он ставит в соответствие функцию

в n-мерном пространстве.
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции:
, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля
в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом
[1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.
Другое определение оператора Лапласа[править | править код]
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция
имеет в окрестности точки
непрерывную вторую производную
, то, как это следует из формулы Тейлора
при
,
при 
вторая производная есть предел

Если, переходя к функции
от
переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки
рассматривать её
-мерную шаровую окрестность
радиуса
и разность между средним арифметическим

функции
на границе
такой окрестности с площадью границы
и значением
в центре этой окрестности
, то в случае непрерывности вторых частных производных функции
в окрестности точки
значение лапласиана
в этой точке есть предел

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции
, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
где
— объём окрестности 
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в[2].
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции
Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат[править | править код]
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве
:

![{\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20976c3be6b574fb20939f284033ac2c05f005ac)
- где
— коэффициенты Ламе.
В цилиндрических координатах вне прямой
:

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

или

В случае если
в n-мерном пространстве:

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70817e419f2c0c845d8e553d32111fb9d54f2971)
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
![{\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b52cf63665f311548adc0b0285c91488fe08de4)
Пусть на гладком многообразии
задана локальная система координат и
— риманов метрический тензор на
, то есть метрика имеет вид
.
Обозначим через
элементы матрицы
и
.
Дивергенция векторного поля
, заданного координатами
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка
) на многообразии X вычисляется по формуле
,
а компоненты градиента функции f — по формуле

Оператор Лапласа — Бельтрами на
:

Значение
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
- ↑ Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи непонятно, скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.
- ↑ Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.