Упаковка кругов в правильном треугольнике

Задача упаковки кругов в правильный треугольник — это задача упаковки, в которой требуется упаковать n единичных окружностей в наименьший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов. Имеются гипотезы для числа кругов n < 28.

Гипотеза Пала Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что в случае, когда n является треугольным числом, оптимальная упаковка n − 1 и n кругов имеет одну и ту же длину стороны. То есть, согласно гипотезе, оптимальное решение для n − 1 кругов можно получить путём удаление одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки n кругов.

Минимальные по длине стороны треугольника решения:

Число кругов	Длина стороны треугольника
1	$2{\sqrt {3}}$ = 3.464...
2	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...
3	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...
4	$4{\sqrt {3}}$ = 6.928...
5	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...
6	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...
7	$2+4{\sqrt {3}}$ = 8.928...
8	$2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ = 9.293...
9	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...
10	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...
11	$4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ = 10.730...
12	$4+4{\sqrt {3}}$ = 10.928...
13	$4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ = 11.406...
14	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...
15	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...

Близкая задача — покрытие правильного треугольника заданным числом кругов с как можно меньшим радиусом.

См. также

• Упаковка кругов в прямоугольном равнобедренном треугольнике
• Окружности Мальфатти, построение, дающее оптимальное решение для трёх кругов в равнобедренном треугольнике