Четырёхугольник Саккери

Четырёхугольники Саккери на евклидовой, эллиптической и гиперболической плоскостях

Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».

Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом.

В четырёхугольнике Саккери $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ равны по длине и перпендикулярны к основанию $AB$. Углы при $C$ и $D$ называются верхними углами, два остальных угла — нижними.

Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос:

Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?

Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты).

Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно).

История

Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходились.

Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.

600 лет спустя Джордано Витале использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания $AB$ и верхней стороны $CD$, то $AB$ и $CD$ всюду лежат на одинаковом расстоянии.

Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.

Свойства

Пусть $ABCD$ — четырёхугольник Саккери с основанием $AB$. Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии:

• Верхние углы ($C$ и $D$) равны и являются острыми.
•  Верхняя сторона длиннее основания.
• Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне.
  • Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Формула

В гиперболической плоскости постоянной кривизны $-1$ верхняя сторона $s$ в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону $l$ и основание $b$ с помощью формулы

$\cosh s=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l.$

Примеры

Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:

Симметрия *3322

Симметрия *∞∞22

См. также

• Четырёхугольник Ламберта — вариация четырёхугольника Саккери с тремя прямыми углами.

Литература

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975