Кривая Госпера

Крива́я Го́спера, или крива́я Пеа́но-Го́спера, названная по имени открывателя Билла Госпера, — это заполняющая пространство кривая. Является фрактальной кривой, подобной кривым дракона и Гильберта.

Четвёртая стадия кривой Госпера	Ломаная линия от красной точки до зелёной показывает один шаг построения кривой Госпера.

Алгоритм

Система Линденмайера

Кривую Госпера можно представить с помощью системы Линденмайера со следующими правилами:

• Угол: 60°
• Аксиома: $A$
• Правила подстановки:
  • $A\mapsto A-B--B+A++AA+B-$
  • $B\mapsto +A-BB--B-A++A+B$

В этом случае A и B означают движение вперёд, + означает поворот влево на 60º, а — означает поворот на 60º вправо с использованием «черепашьего» стиля программирования, как в Лого или Python3.

Лого

Программа на Лого для рисования кривой Госпера с использованием черепашьей графики (онлайн-версия):

to rg :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / sqrt 7
if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln  rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end

to gl :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / sqrt 7
if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

Программу можно запустить, например, командой rg 4 300 или gl 4 300.

Python3

import turtle

turtle.hideturtle()
turtle.tracer(0)
turtle.penup()
turtle.setposition(180, 240)
turtle.pendown()

axiom, tempAx, logic, iterations = 'A', '', {'A': 'A-B--B+A++AA+B-', 'B': '+A-BB--B-A++A+B'}, 5

for i in range(iterations):
    for j in axiom:
        tempAx += logic[j] if j in logic else j
    axiom, tempAx = tempAx, ''

for k in axiom:
    if k == '+':
        turtle.left(60)
    elif k == '-':
        turtle.right(60)
    else:
        turtle.forward(4)

turtle.update()
turtle.mainloop()

Свойства

Заполненные кривой фрагменты плоскости называются островами Госпера. Несколько первых итераций приведены ниже:

Остров Госпера может замостить плоскость. Фактически, семь копий острова Госпера можно соединить вместе с образованием похожей фигуры, но увеличенной на множитель √7 во всех направлениях. Как видно из рисунка ниже, эта операция приводит к уменьшенной версии следующей итерации кривой. Продолжение процесса бесконечно даёт замощение плоскости. Сама кривая может быть равным образом расширена на бесконечность с заполнением всей плоскости.

См. также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Ссылки

• https://web.archive.org/web/20060112165112/http://kilin.u-shizuoka-ken.ac.jp/museum/gosperex/343-024.pdf
• http://kilin.clas.kitasato-u.ac.jp/museum/gosperex/343-024.pdf Архивная копия от 21 марта 2012 на Wayback Machine
• http://www.mathcurve.com/fractals/gosper/gosper.shtml (in French)
• http://mathworld.wolfram.com/GosperIsland.html
• http://logo.twentygototen.org/mJjiNzK0
• http://80386.nl/projects/flowsnake/ Архивная копия от 24 июля 2011 на Wayback Machine